五年级数学解题技巧大全思维导图

平均数是等分除法的发展。

- 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

- 算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和数量的个数=算术平均数。

- 加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

- 数量关系式 (部分平均数权数)的总和(权数的和)=加权平均数。

- 差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

- 数量关系式：(大数-小数)2=小数应得数 最大数与各数之差的和总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为 1 ，则汽车行驶的总路程为 2 ，从甲地到乙地的速度为100 ，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = ， 汽车的.平均速度为2 =75 (千米)

已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

- 根据求单一量的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

- 根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

- 一次归一问题，用一步运算就能求出单一量的归一问题。又称单归一。

- 两次归一问题，用两步运算就能求出单一量的归一问题。又称双归一。

- 正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题。

- 反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题。

- 解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量)，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的'一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲"圆的面积和周长"时，"化圆为方""化曲为直"的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少?

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是"化归"。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解。如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本?

所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。

(一)由条件"乙给甲200本"可想到：

=700(本)(以下各式略)

(2)先求原甲(现乙)

(3)直接求

甲需做20÷25%=80(个)

乙需做140-80=60(个)

当题目因缺乏某一条件难以解答时，可假设出所需条件，作为辅助已知数，然后在增加条件的情况下研究解题方法。

例2 一登山运动员从山脚到山顶，再原路返回，他上山的速度是每小时4千米，下山的速度是每小时6千米，这个运动员上下山的平均速度为每小时多少千米?

从上表可看出，从山脚到山顶的路程不论是多少，它的平均速度都是4.8千米。因此可以设路程为"1"，则往返的路程为1×2，1÷4，1÷6分别为往返的时间。得后种解法。

例3 一个正好装12千克油的桶装满了油，想从中倒出6千克。但没有6千克的容器，也没有秤，仅有一个8千克和一个5千克的容器。怎样的倒法才能使8千克容器中恰好装了6千克的油?

例4 智力题：某商店规定，话梅五分钱一个、三个话梅核可换一个话梅。小勇买了八角钱的话梅，你知道他最多可以吃到多少个话梅吗?

可见：第一次用八角钱可买话梅80÷5=16(个)，同时有16个话梅核。

第二次用第一次吃剩的16个话梅核去换话梅，可换5个，还余1个话梅核;同时吃了5个话梅，就留有5个话梅核，共计6个。

第三次用6个话梅核去换2个话梅，吃了2个，还剩下两个话梅核。

第四次在处理2个话梅核时，有两种方法：其一，先借1个话梅核，凑全了3个换吃1个话梅，将吃剩的话梅核作归还;其二，先借吃1个话梅，将吃剩的1个话梅核与原先剩的2个话梅核凑齐，换来1个话梅作归还。这样，用2个话梅核便能换吃1个话梅。

q1=1，故

列 举 法

这是一种不完全归纳法，有些抽象。结论难以确定正误时，根据需要既要列举一些有代表性的数据(如0与1)，也要照顾到各种情况，否则会出现以偏概全的错误。通过观察计算，从中得到启示，找出规律，确定结论是否成立。

例5 一个数乘以真分数，积一定小于这个数。( )

显然，结论中的"一定"不确切。

例6 判断，圆心角一定，扇形的半径与面积成不成比例。( )

设圆心角为45°，r为半径，S为面积。

当r=1时，S=0.3925;

当r=2时，S=1.57;

当r=3时，S=3.5325;

当r=4时，S=6.28.

r与S的比值或积都不一定，因而扇形的半径与面积不成比例。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十八)

文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。

逻辑推理

(1)A、B两人中至少去1人;

(2)A、D不能一起去;

(3)A、E、F三人中派2人去;

(4)B、C两人都去或都不去;

(5)C、D两人中去1人;

(6)若D不去，则E也不去。

枚举法

把问题分为既不重复，也不遗漏的有限种情况，一一列举问题的解答，最后达到解决整个问题的目的。

例4 公社每个村准备安装自动电话。负责电话编码的雅琴师傅只用了1、2、3三个数字，排列了所有不相同的三位数作电话号码，每个村刚好一个，这个公社有多少个村?

所以该公社有 27(3×9)个村。

例5 国小学数学奥林匹克，第二次(1980年12月)3题：一个盒中装有7枚硬币：2枚1分的，2枚5分的，2枚10分的，1枚25分的。每次取出两枚，记下它们的'和，然后放回盒中，如此反复。那么记下的和至多有多少种不同的数?

枚举出两枚硬币搭配的所有情况

共有9种可能的和。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十七)

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模式法

在解决问题时，寻找模式的思考方法是一种十分有效的策略。运用这种方法时，从问题的最简单例子或其变式着手，根据这些具体例子来发现其中的模式或规则，然后以此来获取问题的一般解。

寻找模式，提出并检验猜想以及用公式表示判断准则，虽然不是数学的全部内容，但它们是数学思想、思维、概括数学知识的核心问题。

例1 阶梯问题：造4步的阶梯需要方块10个，造10步的阶梯需要多少块?造20步的需要多少块?

4步的阶梯，第一步用1块，第二步用2块(右边第二列)，第三步用3块，等等。

1+2+3+4=10

1+2+3+……+9+10=55(块)

4步阶梯 需要10块

10步阶梯 需要55块

(1)归纳。证明法则在第一个例子中是成立的、假定对某个给定的例子的前面所有例子都成立，证明某个给定的例子后一个例子也成立，由此可证得猜想成立。

(2)演绎。根据已知的事实，通过逻辑推理而导出。只有在这时猜想才可称作判断准则。如果能找出一个不满足猜想的例子，则就足以否定猜想的有效性。

可以作出何种猜想?分析这个表可发现区域数是由公式2n-1确定的，其中n是点子数。n=1、2、3、4、5都是正确的。

根据相应的法则，6个点的区域数应是数26-1=32，但实际上不是这个数字，而是30或31(见图)。所以这个猜想不能概括为法则。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十六)

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逆推

也称倒推法。思考的途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。有些题目用顺推法颇感困难，而用倒推法解却能化难为易。

例1 一种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长到100万个。问增长到25万个时需要几小时?

因为细菌每小时增长1倍，所以增长到25万个后再经过1小时就可以增长到25×2=50(万个)，增长到50万个后又经过1小时就可以增长到50×2=100(万个)。

从25万个增长到100万个要用1+1=2(小时)，所以增长到25万个时需要10-2=8(小时)。

把第二天运走后再余下的吨数看作单位"1"，还剩下的12吨占第二天

又把第一天运走后余下的吨数看作单位"1"， 16吨货占第一天运走

=30(吨)

例3(国外有趣的故事题)传说捷克的公主柳布莎，决定她所要嫁的人必须能解下面的问题：一只篮中有若干李子，取出它的一半又一枚给第一人，再取出其余的一半又一枚给第二人，又取出最后所余的一半又一枚给第三人，那末篮中的李子就没有剩余。篮内有李子多少枚?

逆推法：〔(3×2+1)×2+1〕×2

=〔7×2+1〕×2

=15×2

=30(枚)

若抓住"1"的转移，算式为

例4 甲、乙两人从1开始轮流报数，每人每次只能轮流报1至3个连续自然数，如甲报1、2，乙可报3或3、4;或3、4、5，谁先报到100谁胜;乙怎样报才能获胜?

解题分析：如果某一次乙报后还剩下100或99、100;或98、99、100，那么甲取胜，乙则败。但是乙要取胜，他倒数第二次报后必须剩下4个数，使甲一次不能报完。因为100是4的倍数，甲先报，无论甲报几个数，乙只要报自己报的数字个数与甲报的个数加起来是4。这样，剩下的数字个数总是4的倍数，乙定获胜。

例5 有甲、乙两堆小球，各有小球若干，如果按照下列规律挪动小球;第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，那么如此挪动四次后，甲、乙两堆的所有小球恰好都是16个，问甲、乙两堆小球最初各有多少个?

从表中可明显看出甲堆最初有21个小球，乙堆有11个。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十五)

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巧虚构

虚构求解是一种重要的数学思维方法，可帮助我们从困境中解脱出来，是假设法的一种。

例1 我国运动员为参加十一届亚运会进行长跑训练。跑10000米的时

设过去跑10000米需要21分钟，那么缩短的时间为1分钟，现在所需的时间为20分钟，因此过去与现在所需时间的比为21∶20。

根据路程一定，速度与时间成反比例，则过去与现在的速度比为20∶21。所求为

(21-20)÷20=5%

例2 甲、乙、丙三人进行竞走比赛。甲按某一速度的2倍走完全程的一半，又按某一速度的一半，走完余下的路程。乙在一半的时间内，按某一速度的2倍行走，在另一半的时间内，却按某一速度的一半行走。丙始终按某一速度走完了全程。问谁先到达目的地?谁最后到达目的地?

设三人竞走的全程为400米，某一速度为每分钟行100米。那么甲行完全程需要的时间为(400÷2)÷(100×2)+(400÷2)÷(100÷2)=5(分钟)。

解得 x=3.2

丙行完全程的时间为400÷100=4(分钟)

A队比B队多50分;…………………………………①

C队比A队少70分;…………………………………②

B 队比D队少30分;…………………………………③

E队比C队多80分。………………………………④

请按各队的得分的多少，给这五个队排一个先后名次。分析：从这四个关系中解出五个队的得分数是不可能的。于是，我们可以给这五个队中任意一个队虚构一个分数，并由此逐个算出其四个队的分数(当然也是虚构的)最终以这些虚构的分数来回答名次的排序问题。

解：设A队得200分。

则由①知：B队得200-50=150(分)

由②知：C队得200-70=130(分)

由③知：D队得150+30=180(分)

由④知：E队得130+80=210(分)

名次为E、A、D、B、C。

例4 刘师傅和古师傅加工同一种零件。刘加工的零件

傅加工这种零件的技术水平是否相同?如果不同谁的技术好些?

分析：比较两人技术水平的高低，可以比在同一时间内谁加工的零件数多，也可以比加工同样数量的零件谁用的时间少。

现在问题中既没有给出两位师傅各自加工的零件数、也没给出他们加工零件所用的具体时间数。并且这两种量的具体数值是求不出来的。和前面的一样，可任我们虚构。

=2(小时)。

所以刘师傅平均每小时加工的零件数为

古师傅平均每小时加工的零件数为

30÷2=15(个)

显然，古师傅的技术水平高一些。

小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十四)

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巧想时间

两人相距250米，已知甲平均每分钟跑200米，求乙每分钟跑多少米?

=225(米)

例2 甲乙两城相距120千米。甲城汽车站每隔15分钟依次向乙城发出一辆公共汽车，车速都是每小时40千米。某日，当甲城发出的第一辆车行驶

第一辆车出发，到桥行

第一辆车从桥返回甲城行