2019高考数学知识点：导数公式及推导过程思维导图

y=e^x y'=e^x

y=lnx y'=1/x

导数公式推导过程

⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

⒊y=a^x,

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β)。

所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e，所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

⒋y=logax

△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

因为当△x→0时，△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞，所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae，所以有

lim△x→0△y/△x=logae/x。

可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n，所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

⒌y=sinx

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

⒍类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。

⒎y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

⒏y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

⒐y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

⒑y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

⒒y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2

⒓y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

⒔联立：