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2017高考数学必考知识点:导数的应用思维导图

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2017高考数学必考知识点:导数的应用思维导图包含函数的单调性、函数的极值、函数的最值和求解可导函数的单调区间和函数极值的步骤。在函数的单调性中,如果导数某个区间内都不为0,则函数该区间上为增函数或减函数,在函数的极值中,极小值点和极大值点统称为极值点,而极大值和极小值则统称为极值。函数的最值表示函数在一个区间上的情况。为了求解可导函数的单调区间,需要确定函数的定义域,求导数的根,将函数定义区间分成小区间,并对每个小开区间确定增减性,求函数极值的步骤包含确定函数的定义域,求导数的根,将函数定义域分成小开区间,并通过根两侧导数的符号来判断极值情况,而求函数最大值和最小值的步骤包含求函数的极值、计算区间端点的函数值,并将极值和端点的函数值进行比较。

思维导图大纲

2017高考数学必考知识点:导数的应用思维导图模板大纲

一、函数的单调性

在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数.

f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数.

1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分

不必要条件.

2、可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.

3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.

二、函数的极值

1、函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

2、函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

三、函数的最值

1、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

2、若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(x)的定义域;

2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

五、求函数极值的步骤

1、确定函数的定义域;

2、求方程f′(x)=0的根;

3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格;

4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.

六、求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

1、求函数在(a,b)内的极值;

2、求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);

3、将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

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