有限元法基本原理复习资料思维导图

线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？

通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。

通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。

通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。

写出并理解弹性力学的基本方程。

b．几何方程：

1. 平面问题中的几何方程：

2. 空间问题的几何方程：

为体积应变

即：

简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。

4、请表述如图所示边界条件：

描述并理解平面问题的基本方程

如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量有：

1. 平面问题的平衡微分方程

2. 平面问题中的几何方程：

3. a.平面应力问题中的物理方程：

记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。

b.平面应变问题中的物理方程：

记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。

8、结构的分类与基本特征

按结构在空间的位置分

结构可分为平面结构和空间结构两大类

(2) 按结构元件的几何特征分

① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构

(3) 按结构自由度分

静定结构——自由度为零的几何不变结构。

超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。

9、结构对称性的利用

对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。

10、自由度计算公式

(1)桁架自由度计算公式

桁架中的结点数为*j*，杆件数为*g*，支座链杆数为*z*，则桁架的自由度*W *为

(2) 平面混合结构的自由度计算公式

设单铰数为

一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：

a\. *W*＞0 表明结构缺少必要的约束， 可运动， 故结构必定是几何可变体系。 b\. *W*=0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。 c\. *W*＜0 表明结构具有多余约束。

11、平面结构几何构造分析（判定结构的几何不变性）

12、空间结构几何构造分析（判定空间结构的几何不变性）

13、弹性力学边值问题的基本解法？

根据弹性力学基本方程，只要给出边界条件，理论上完全可以解出空间问题共十五个未知量，平面问题八个未知量。这种问题在数学上叫做微分方程的边值问题。

三种基本解法：

按应力求解：按应力求解以应力分量为基本未知函数，先求应力分量，再求其它未知量，是超静定问题，需要补充变形协调条件。 按位移求解：以位移分量为基本未知函数，此时应通过物理方程和几何方程将平衡微分方程改用位移分量表达。应力边界条件也可以用位移分量表达，按位移求解时，弹性力学问题可以包括位移边界条件和应力边界条件。

混合求解：以一部分应力分量为基本未知量，再以一部分位移分量为基本未知量，即建立变形协调方程，又建立内力平衡方程，最后加以求解。

14、什么是虚位移原理？

虚位移原理：物体平衡时， 作用在物体上的所有外力在物体所能发生的任何一组虚位移上所作虚功的代数和等于零。

15、什么是虚功方程？

矩阵表达式为

式中{δ*}为虚位移列阵，{F}为外力列阵，{ε*}为虚应变列阵，{σ}为应力列阵。

16、什么是位移变分方程，也称拉格朗日变分方程？

17、什么是极小势能原理？

对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体的势能取极小值。

极小势能原理与虚功方程、拉格朗日变分方程是完全等价的。

18、有限元法求解问题的基本步骤？

建立几何模型

连续体离散化

3．单元分析

4．整体分析和

5．边界条件的处理

6．施加载荷

7、有限元方程求解

8．结果后处理和分析

19、主要的单元类型有哪些？

杆状单元

平面单元

弹性力学平面问题根据其应力与应变特点分为平面应力问题和平面应变问题，在进行有限元分析时他们所采用的基本单元是相同的，区别仅在于弹性矩阵不同。

平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和集中力，不能承受面外载荷。

薄板弯曲单元和薄板单元

薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩形单元为后者的特殊形式，通常三角形单元有三个节点，四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。

多面体单元

常用的三维多面体单元有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单元有规则六面体和不规则六面体。

20、什么是

把单元形状的变化和单元内位移函数的变化用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换，即所谓等参变换，采用等参变换的单元称为等参单元。

21、什么条件下可以按轴对称问题处理？

在一些实际问题中，如飞轮、转轴、活塞、汽缸套等都是回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应力应变问题称为轴对称问题。

22、如何构建单元插值函数？

在有限元分析中一般都采用多项式作为插值函数，多项式的项数由所选取的单元和单元的节点数决定。

23、掌握三角形三节点单元和四节点四边形单元的插值函数和形函数的构造和推导。

三角形插值函数：

代入节点坐标点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0），

解得：

即：

其中：

写成矩阵形式：

根据根据平面问题几何方程：

其中：

根据平面应力问题的物理方程

其中式中[S]=[D][B]为应力矩阵，[D]为弹性矩阵

四节点四边形单元

设节点坐标为：i（-a,-b）, j(a,-b), l(a,b), m(-a,b)

单元内任一点位移与节点位移之间的关系可以表达为

可以推导出其形函数为：

上式如果令：

形函数可写如下成无量纲形式

则：

其中，

代入无量纲插值函数，

根据弹性力学平面问题的物理方程：

代入无量纲形函数：

24、形函数有什么特征？

形函数应有如下特征：

(1) 本节点上为1，其它节点上为0，即

(2) 在单元内任一点各形函数之和等于1，即

这一性质反映单元的刚体位移。

(3) 单元任意一条边上的形函数，仅与该边两端节点的坐标有关，而与其他节点无关，这一性质可以保证相邻单元在公共边界上位移的连续性。

25、 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:

a\. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。 b\. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c\. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。

26、如何进行载荷移置？

(1) 集中力。等效载荷为

由虚功原理得到：

(2) 体力。等效载荷为

由虚功原理有

(3) 分布面力。等效载荷为

由虚功原理有

27、如果一个弹性结构被分解为1000个20节点六面体单元，总共有1500个节点，其整体刚度矩阵为多少阶矩阵？

28、整体刚度矩阵有什么性质？

整体刚度矩阵[

(1) 整体刚度矩阵是对称的稀疏矩阵，矩阵中各个元素都集中分布于对角线附近，形成“带状”， 其余元素均为零。

(2) 由于单元刚度矩阵对角线上的元素均大于零，由整体刚度形成的方式可知，整体刚度矩阵的主对角线元素必然大于零。

(3) 未经约束条件处理的刚度矩阵是奇异矩阵。故在求解有限元方程时，需要根据约束条件，修正结构刚度矩阵以消除奇异性。

29、如何消除整体刚度矩阵的奇异性？

整体刚度矩阵的奇异性是由于刚体位移的存在，代入边界条件可以消除刚体位移，从而消除刚体矩阵的奇异性，最终使方程可解。

30、如何处理边界条件？

（1）划行划列法

（2）对角线元素置1法

（3）对角线元素乘大数法

也可以看到对角线元素乘大数法对于零位移同样适用，因此此方法可适用上面提到的两种边界条件，而且使用简单，编程方便，在有限元边界条件处理中被广泛使用。

31、进行有限元计算后处理的目的是什么？

在完成有限元计算过程之后，对有限元计算结果进行整理和后处理，以期获得如下输出：

第一，要得到结构中关键位置力学量的数值，如最大位移、最大主应力和主应变、等效应力等。

第二，得到整个结构的力学量的分布，如根据计算结果可以直接绘制位移分布图，结构边界上节点位移的连线形成结构外形的改变；对于应力也可以绘制应力分布图；以及典型切面上位移、应力和应变的分布等。

后处理得到输入量和输出量之间的响应关系。

第四，最后选择前后处理结果的输出方式，如列表输出、图形输出、计算机动画模拟等方式。

32、如果有限元计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去，可能出现的错误有哪些？

建模过程中的每个因素都可能造成计算结果错误或计算困难。如果计算结果不符合实际情况或者计算进行不下去，可能出现的错误有:

单元类型不对、 网格数量太少、 材料模型错误、 约束和载荷的施加方式不对、 接触定义有问题、 网格质量差、 计算方法不对等，

33、有限元建模的准则是什么？

（1) 有限元模型应满足平衡条件。即结构的整体和任意一单元在节点上都必须保持静力平衡。

（2) 满足变形协调条件。交汇于一个节点上的各单元在受力变形后也必须保持汇交于同一节点。

（3) 满足边界条件和材料的本构关系。边界条件包括整个结构的边界条件和单元间的边界条件。

（4) 刚度等价原则。有限元模型的抗拉压、抗弯曲、抗扭转、抗剪切刚度应尽可能与原来结构等价。

（5) 认真选取单元，包括单元类型、形状、阶次，使之能够很好地模拟几何形状、反映受力和变形情况。单元类型如杆单元、梁单元、平面单元、板单元或空间单元等，空间块体又分四面体块单元或六面体块单元，六面体块单元又分八节点六面体或二十节点六面体等。选取单元时应综合考虑结构的类型、形状特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素。

（6) 应根据结构特点、应力分布情况、单元的性质、精度要求及其计算量的大小等仔细划分计算网格。

（7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体，其中特别要注意曲线与曲面的逼近问题。

（8) 仔细处理载荷模型，正确生成节点力，同时载荷的简化不应该跨越主要的受力构件。

（9) 质量的堆积应该满足质心及惯性矩等效要求。

（10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小。

34、如何处理下列情况的边界条件？

对于基于位移模式的有限元法，在结构的边界上必须严格满足已知的位移约束条件

b

c

35、为什么平面三角形单元又称为常应变单元？

由于采用了线性位移函数的缘故应变矩阵[

36、减小解题规模的常用措施有哪些？

（1）合理利用对称性和反对称性条件

（2）合理利用周期性条件

（3）降维处理和几何简化

（4）合理采用子结构技术

（5）非线性问题线形近似化

（6）多种载荷工况的合并处理

（7）节点编号的优化

37、半带宽d=（相关节点号的最大差值+1）×节点自由度数

38、掌握杆单元、梁单元的插值函数和形函数构建与推导。（见ppt第五章）

39、如何判定结构是否为板壳问题？

需要确定厚度与其它方位尺寸的比值，如果 1/80≤

40、如何描述多自由度系统的振动方程？

质量矩阵[

41、试推导单元一致质量矩阵

42、如何描述三角形单元集中质量矩阵？

43、试推导阻尼矩阵

答案：(1) 在原结构中可以采用不规则单元，易于适应边界面的形状和改变单元的大小；

(2) 将不规则单元变换为规则的母单元后，易于构造位移模式。

45、有限元列式的七个步骤：

①写出节点的力向量和位移向量表达式：

②构造合适的位移插值函数多项式表达式：

③写出具体的形状函数表达式：

④用矩阵形式写出单元应变与节点位移间的关系式：

⑤用矩阵形式写出单元应力与节点位移间的关系式：

⑥用矩阵形式写出单元节点力与节点位移间的关系式：

⑦用矩阵形式写出整体节点力与节点位移间的关系式：

46、下图所示一个矩形单元，边长分别为2a与2b，坐标原点取在单元中心。位移模式取为

47、针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。

48、如下图所示，求下列情况的带宽:

4结点四边形元；

2结点线性杆元。

49、 针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大？

50、解释并绘简图说明圣维南原理？

在弹性体的一小部分边界上，将所作用的面力作静力等效变换只对力作用处附近的应力有影响，对离力作用处较远的应力几乎无影响。

51、说明什么情况下的受力问题，可以归结为轴对称问题？

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是对称于某一根轴（过该轴的任一平面都是对称面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。这类问题通常称为空间轴对称问题。有限元的轴对称问题，既结构轴对称，载荷轴对称，约束也是轴对称。

说明单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的含义，二者有何区别？

单元：联系力分量与位移分量之间的关系。性质：分块形式，物理意义，对称性，奇异矩阵

整体：将单元刚度矩阵中的每个子块进行换码，换成对应的整体码，送到整体刚度矩阵中的对应位置上，如果有几个单元的对应子块，就进行叠加。性质：对称性，稀疏性，带形分布，奇异矩阵。