不定方程属于方程的一种,但是在解题难度上会略高于普通方程,如何把这种略难的问题快速掌握和解决呢?其实各位考生只需要掌握以下四种方法即可。
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2022国考行测备考之不定方程的四大解题秘籍思维导图模板大纲
首先,各位考生需要了解什么是不定方程。在考试中我们会遇到类似3x+4y=21这样的方程,这种方程的特点在于:未知数的个数>方程的个数,这样的方程在未知数没有任何限制的条件下,解是不固定的,所以我们称之为不定方程。
不定方程属于方程的一种,但是在解题难度上会略高于普通方程,如何把这种略难的问题快速掌握和解决呢?其实各位考生只需要掌握以下四种方法即可。
【例】设 a、b 均为正整数,若 11a+7b=84,则 a 的值为:
A.4
B.5
C.7
D.8
第一步,通过未知数个数>方程个数,可以判定本题属于不定方程问题。
第二步,通过代入排除,将选项中a的值代入等式11a+7b=84验证,解出b应为正整数即可。通过代入,四个选项中只有当a=7时,b的值为整数1满足条件。 因此,选择C选项。
【技巧总结】当不定方程问题中只是简单的求解某个量,而不是未知量的和差或乘积关系,可以考虑代入排除法求解。
【例】9x+4y=81,x和y为正整数,求y=( )?
A.3
B.6
C.18
D.45
第一步,通过未知数个数>方程个数,可以判定本题属于不定方程问题。
第二步,通过对这个方程进行观察,不难发现9x的系数9和常数项81都能被9整除。根据乘法分配律,如果一个能被9整除的数加上另一个数的和能被9整除,那么另一个数也一定能被9整除,因此4y能被9整除,但4不能被9整除,所以只能是y被9整除,因此得出y是9的倍数,所以直接选择C,这种方法我们称之为"整除法"。
【技巧总结】不定方程中,未知数的系数和常数项有公约数时,考虑整除法求解。
【例2】2x+3y=25,x和y为正整数,求y=( )?
A.2
B.4
C.6
D.7
第一步,通过未知数个数>方程个数,可以判定本题属于不定方程问题。
第二步,观察等式两边的每一项,2是偶数,偶数的正整数倍也一定是偶数,而25是一个奇数,一个偶数加上另一个数的和是奇数,说明另一个数一定是奇数,也就是说3y一定是奇数,而3是奇数,奇数只有乘以奇数才能得到奇数,所以y必须是奇数,选项中只有D满足条件,因此选择D选项。
【技巧总结】不定方程中,未知数的系数为一奇一偶时,考虑未知数的奇偶性。
【例3】5x+6y=72,x和y为正整数,x与y的和不大于13,求xy=( )?
A.12
B.0
C.24
D.42
第一步,通过未知数个数>方程个数,可以判定本题属于不定方程问题。
第二步,观察题干中的系数我们发现,5这个数比较特殊,因为正整数与5相乘的结果,尾数只有0或5两种情况,因此我们可以通过尾数来进行快速求解。当然,因为未知数的系数为一奇一偶,所以在这个过程中我们也可以结合奇偶性法来解题。利用奇偶性我们能判断6y是偶数,72是偶数,偶数+偶数=偶数,所以能够确定5x是偶数,再根据尾数法确定5x的尾数只能是0,72的尾数是2,那么6y的尾数只能是2,所以y可以取的值只有2或7。当y=2时,x=12;当y=7时,x=6.由于x与y的和不大于13,所以满足条件的只有y=7,x=6,6脳7=42,因此选择D。
【技巧总结】不定方程中,未知数的系数为5的倍数时,考虑尾数法。
以上就是常用的不定方程的四大解题方法,各位考生如果能深入理解并灵活运用,那么不定方程问题便能被轻松攻破。
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