6. 导数和微分思维导图

​ 设一质点作直线运动, 质点的位置s 是时间t 的函数, 即其运动规律是s = s(t),则在某时刻 t0及邻近时刻t 之间的平均速度是

当t 越来越接近t0时，平均速度就越来越接近t0时刻的瞬时速度. 严格地说, 当极限

存在时, 这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.

​ 需要寻找曲线y = f (x)在其上一点P(x ,y )处的切线PT. 为此我们在P 的邻近取一

点Q ,作曲线的割线PQ ，这条割线的斜率为

.\media\切线的斜率2.png

设想一下,当动点Q 沿此曲线无限接近点P 时，k的极限若存在，则这个极限

会是什么呢？

答: 它就是曲线在点P 的切线PT 的斜率.

上述两个问题的实际意义完全不同，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率。但从数量关系来看，它们有着完全相同的数学结构—函数的改变量与自变量改变量之比的极限.

上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同一类型的数学问题：

求函数f 在点x0处的增量

之比的极限. 这个增量比称为函数f 关于自变量的平均变化率，增量比的极限(如果存在) 称为f 在点

x0 处关于x 的瞬时变化率(或简称变化率).

定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果极限

存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在x0 的导数，记作

.\media\导数公式.png

.\media\有限增量公式.png

python 1834年，捷克数学家Bolzano（波尔查诺）给出了一个不可导的连续函数的例子，但他的工作在当时并不为人 们所知.因此现在常常提到的例子是1872年由Weierstrass提出的著名的处处连续处处不可导的函数.由 于这个例子涉及一些其它数学概念，因此在这里我们举一个较为直观的曲线的例子，虽然曲线和函数有区别，但本质是 相通的. 1904年，瑞典数学家科赫（Koch）做出一雪花曲线.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到“Koch雪花曲线”

.\media\雪花1.png

.\media\雪花2.png

.\media\雪花3.png

.\media\雪花4.png

.\media\雪花5.png

.\media\雪花6.png

Koch雪花曲线有趣的事实是：它是连续曲线，但在每一点上都没有切线！雪花的周长是无界的，而面积有界． 不要以为雪花曲线仅仅是人脑想出来的一种“病态”曲线，科学家们发现，这类曲线能应用于研究自然界的许多现象，例如地球大陆的海岸线等.这门新兴的数学学科称为分形．

如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称

如果f(x)在(a,b)内

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′(x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′(x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′(x)。

导函数的定义表达式为：

https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%BC%E5%87%BD%E6%95%B0/185399/0/8b13632762d0f703f3346b6408fa513d2797c580?fr=lemma&ct=singleimg,[object Object]

值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

重要例题

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.\media\极值问题.png

.\media\极值问题2.png

.\media\费马定理.png

.\media\费马定理2.png

.\media\复合函数的导数.png

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.\media\基本求导法则与公式4.png

.\media\导数的四则运算.png

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.\media\导数的四则运算4.png

.\media\高阶导数运算法则.png

.\media\微分的运算法则.png

.\media\微分的运算法则2.png

​ 未定式是指如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim

.\media\洛必达法则.png

.\media\洛必达法则2.png

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8.2.1 函数极值的求法