二次根式思维导图

形如 √a (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式

关键点

√a ≥ 0 (a ≥ 0)。二次根式的值总是非负数

(√a)² = a (a ≥ 0)。一个非负数开平方后再平方，等于它本身

√(a²) = |a| = { a (a ≥ 0), -a (a < 0) }。特别注意：结果是 a 的绝对值！ 这是非常容易出错的地方。例如：√(3)² = √9 = 3 = |3|, √(-3)² = √9 = 3 = |-3|

√(a·b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0)

意义

逆用

√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

意义

逆用

√a · √b = √(a·b) (a ≥ 0, b ≥ 0)

步骤： 先用法则合并为一个根号，再化简结果（化为最简二次根式）

推广： a√x · b√y = (a·b)√(x·y) (x≥0, y≥0)

√a / √b = √(a/b) (a ≥ 0, b > 0)

步骤： 先用法则合并为一个根号，再化简结果（化为最简二次根式）

推广： (a√x) / (b√y) = (a/b)√(x/y) (x≥0, y>0)。最终结果通常需要分母有理化

核心： 先化简每个二次根式为最简形式，再合并同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。例如：2√3 和 5√3 是同类二次根式；√2 和 √8（化简后为 2√2）也是同类二次根式

只把系数相加减，被开方数和根指数不变。即：a√c ± b√c = (a±b)√c

只有同类二次根式才能进行加减运算。 不是同类二次根式的不能合并，只能写成和或差的形式（例如：√2 + √3）

与实数的运算顺序相同。遵循

先乘方（开方），再乘除，最后加减

有括号先算括号里面的

先观察式子结构

利用运算法则（乘除优先，注意分母有理化）

将每个二次根式化为最简二次根式

识别并合并同类二次根式

灵活运用乘法公式（如平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²、完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b²）简化计算

把分母中的根号化去，使分母变为有理数（整数或分数），满足最简二次根式的要求或便于计算

利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式

分母是单项式

分母是二项式且含平方根

给定字母的值（注意字母的取值范围要使所有二次根式有意义），代入化简后的代数式计算

直接计算比较（适用于数值较简单）

平方法：将两个正数分别平方，比较平方后的大小（a > b > 0 => a² > b²）

作差法：计算 a - b，判断结果与0的关系

作商法：计算 a / b，判断结果与1的关系（注意 a>0, b>0）

分子（或分母）有理化法：有时能更清晰地看出大小关系

在几何（如勾股定理求边长）、物理等涉及长度、面积计算的问题中应用广泛