人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程思维导图
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程思维导图包含一元二次方程的有关概念，如定义、一般形式和未知数的最高次数，掌握解一元二次方程的方法，如直接开平方法、配方法和公式法，了解一元二次方程根的判别式根的情况，包含两个不相等的实数根、两个相等的实数根和无实数根，对于解方程和解题有很大的帮助。
思维导图大纲
人教版 九年级数学上册第二十一章一元二次方程思维导图模板大纲
一、一元二次方程的有关概念
（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax2；二次项系数为 a；一次项为 bx，一次项系数为 b；常数项为 c。
（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
（四）一元二次方程的解（根）
1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根 将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论
（1）a+b+c=0⇔一元二次方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x=1。
（2）a-b+c=0⇔一元二次方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x=﹣1。
（3）c=0⇔一元二次方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x=0。
二、解一元二次方程
（一）直接开平方法解一元二次方程
1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
（二）配方法解一元二次方程
1、配方法：把方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方 法，叫做配方法。
（三）公式法解一元二次方程
1、推导：用配方法解方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)
2、一元二次方程根的判别式
内容：一般地，式子b2 − 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)根的判别式， 通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ = b2 − 4ac。
方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)的根的情况 Δ＞0⇔方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)有两个不相等的实数根。 Δ=0⇔方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)有两个相等的实数根。 Δ＜0⇔方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)无实数根。
拓展：对于一元二次方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)，当 a，c 异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当 c=0 时，方程一定有一个根为 0。
（四）因式分解法解一元二次方程
1、因式分解法：先对方程ax2 + bx + c = O(a ≠ O)的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2、用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项∶将方程化为一般形式。 （2）分解∶将方程的左边分解为两个一次式的乘积。 （3）转化∶令每个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
（五）一元二次方程的根与系数的关系
内容
（1）文字语言：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两 个根的积等于常数项与二次项系数的比。
重要结论
（1）若一元二次方程x2 + px + q = O(a ≠ O)的两根为x1，x2，则x1 + x2 =− p，x1x2 = q。 （2）以实数x1，x2为两根的二次项系数为 1 的一元二次方程是x2 − (x1 + x2) + x1x2 = O。
三、实际问题与一元二次方程
（一）列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
1、审题找相等关系 2、设未知数 3、列方程 4、解方程 5、检验 （1）检验所得结果是不是方程的解。 （2）检验方程的解是否符合实际意义。 6、写出答案
（二）常见实际问题
1、平均增长率（降低率）问题：a(1 + x)2 = n 2、几何图形问题 3、存款利息问题 4、数字问题 5、存款利息问题 6、传播、比赛与握手问题
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