《线性代数》知识梳理思维导图
线性代数重要知识点内容梳理
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思维导图大纲
《线性代数》知识梳理1思维导图模板大纲
行列式
二阶与三阶行列式
二阶和三阶行列式的运算遵循对角线法则
全排列和对换
排列
排列最重要的是逆序数
逆序一对元素的先后次序和标准先后次序不同时的排列
对换
将排列中任意两个元素对调叫做对换 相邻两个元素对换叫做相邻对换
对换改变排列的奇偶性
奇排列变为标准排列需要奇数次
偶排列变为标准排列需要偶数次
x1x2...xn的逆序数为k 那么xn...x2x1的逆序数是多少?
n阶行列式的定义
n阶行列式的定义
正还是负的性质判断:
一般来讲 行列式是正是负是先把行按照顺序排列 然后看看列的逆序数是奇是偶
副对角线行列式
基本差不多 但主要看正负判断:
行列式何时D=0？
某一行(列)全部都为0
某两行(列)对应的成比例
两种常见的行列式
行列式的性质
行列式的值与其转置的行列式相等
对换行列式的两行或者两列 行列式变号
行列式的某一行乘以k 等于k乘以此行列式 即行列式的某一行(列)的公因子都可以提到外面
行列式和矩阵不同的地方 行列式一行就是一个单位 矩阵是以整体为单位的 而且行列式不能随意的运用矩阵的初等变化 应该用行列是的 性质看看相等与否
也就是行或者列的乘积可以转化为行列式的乘积【对于行列式来说 就是行(列)的性质可以转化到整体的性质】
把行列式某一行元素乘上k加到另一行上去 行列式不变
行列式按行(列)展开
代数余子式:
把第(i，j)的元素所在的第i行和第j列所在元素 都去掉 留下的是一个n-1阶的方阵 这个方阵是aij的余子式 记为Mij
代数余子式的概念
代数余子式的性质->
一个n阶行列式 如果其中第i行(列)除了第(i,j)的所有元素都为0 那么则有如下公式
行列式等于它任意一行的几个元素与其对应的代数余子式的乘积之和
这条结论对列也成立
行列式某一行元素与另一行元素对应的代数余子式的乘积之和等于0
这条对列也一样成立
常见的行列式类型
计算行列式:
最优解法是将其化为下三角行列式的类型
将a的矩阵和b的矩阵都化为下三角行列式再求解【本质是矩阵分块法 分成多个矩阵】
这种行列式的处理方法就是迭代 把最后一行和最后一列移过来构造方阵计算 然后再以此类推 一行一行的迭代
∏表示因子累乘 这里可以先另i=1 然后再把j从1到n迭代 这样计算下来一共会有你n方个因子累乘
图中右上方的那个是错误解法 面对这种 正确的做法应该是用斜爪消去平爪 比如把第二行的元素乘以-1加上第一行 以此类推 把行的平爪全部消去
延伸出的异爪型行列式 其解法是利用‘行列式等于它任意一行的几个元素与其对应的代数余子式的乘积之和’ 这条定理 把它拆分成几个代数余子式的和 方便计算
这种类型是‘行之和或者列之和相等’的行列式
对应的处理方法是: 把所有的行(列)都加到同一行(列) 会得到一个相同的式子 把它提出来就变成了第一行(列)全为1的式子 然后在用这个减去对应的行构造上三角行列式
对称行列式和不对称行列式的定义
后两张图片都是类似对称行列式(迭代行列式)的处理方法: 加边法 具体处理方法: 加一个行和列变成n+1阶矩阵 首元素为1 一个行/列是0 另一个行/列共有的元素(比如这里面的a2a3...an) 然后作减法 变成爪型行列式再进行处理
此类长的不像我们认识的任何一个行列式 也很难直接化为上下三角行列式 但有比较多的含0的元素 这种行列式的计算方法就是把把某一行/列的元素转化为只有一个不为0的数 用代数余子式展开去求对应的解
可以使用多次代数余子式的展开与化简 直到它方便计算为止
矩阵及其运算
线性方程组和矩阵
矩阵的定义及性质
m行n列的矩阵 m和n是可以不相等的
如果m和n相等 那么就把这个矩阵称为n阶方阵
1阶行列式/一阶矩阵就是该数本身
矩阵的分类
方阵-->行数和列数相等
方阵也叫同型矩阵
对角阵-->除了对角线以外的元素都为0
这是对角矩阵的另一种写法
单位阵-->主对角线元素为1 其余都为0
单位阵是比较特殊的对角阵
数量阵（纯量矩阵）-->主对角线的元素全相同的对角阵
数量阵也是比较特殊的对角阵
行矩阵/列矩阵--->只有一行/一列的矩阵叫做行矩阵/列矩阵
相等矩阵-->行列数相同 对应的每个元素也相同的矩阵
零矩阵
所有元素全为0的矩阵
实矩阵
元素都是实数的叫做实矩阵 元素都是复数的叫做复矩阵
对称矩阵
伴随矩阵
矩阵A的每个元素的代数余子式构成的矩阵叫做伴随矩阵
在线性方程组中还有几个定义
系数矩阵
未知数矩阵
常数项矩阵
增广矩阵(系数矩阵和常数项矩阵结合起来的矩阵)
矩阵的运算
矩阵的加法
矩阵的加法和行列式的加法并不一样 矩阵的加法是整体都会加 行列式的加法只是某一行/某一列才会加
矩阵与系数相乘
和加法一样 矩阵的数乘也是整体乘
矩阵与矩阵相乘
矩阵相乘的规律和前提条件: 左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数
归纳一下:左列右行
矩阵相乘是左边矩阵的行乘以右边举证的列 放进一个元素中
注意此处的元素行数和列数是不相等的 前面指的行是横向的意思 列是纵向的意思 列数和行数恰好反过来
矩阵相乘的方法
像图中这样把右边的矩阵放在上面 构造出一个类似于四分之一圆弧的感觉即可
矩阵相乘的一些性质以及常见的结论
矩阵相乘行数列数变化的规律
矩阵乘法一个非常重要的性质 左乘矩阵和右乘矩阵是不一样的
如果两者相等 就说方阵A和B是可交换的
任何矩阵相乘与零阵相乘其结果都为0阵
任何矩阵与单位阵相乘其结果仍然是他自身
AE=EA=A
AB=0无法推出A=0或B=0 因为这是矩阵相乘
同理 若AB=AC 你也无法推出B=C
一些常见的规律
满足分配律
满足结合律
数乘
矩阵的幂
矩阵转置相关规律
矩阵转置的转置还是他自身
矩阵转置满足分配率
矩阵转置满足数乘规律
矩阵相乘转置等于转置相乘的逆序列
矩阵的一些其他的性质--若A B都为对称矩阵
(A+B)也为对称矩阵
kA也会矩阵
AB一般不是对称矩阵
AB可交换<-->AB为对称阵
方阵的行列式
矩阵行列式 的常见性质
伴随矩阵行列式的一些性质
一个矩阵与其伴随矩阵相乘最后得出来的是纯量矩阵 且每个元素恰好是A的行列式的值
逆矩阵
逆矩阵的定义
矩阵可逆可以推出的结论
矩阵A为满秩矩阵 即|A|不等于0
齐次线性方程组仅有0解
非齐次线性方程组有唯一解
存在初等矩阵P 使得A=P1P2...Pn
存在可逆矩阵P 使得AP=E 即A可以用初等行变换得到单位阵E
和逆矩阵有关的性质
若矩阵A可逆 那么|A|不等于0
|A|=0时叫做奇异矩阵
A|不等于0时叫做非奇异矩阵
如果矩阵A有逆矩阵 那么有如下的公式:
计算逆矩阵的公式1
行列式的导数等于逆矩阵的行列式
逆矩阵的运算规律
逆矩阵的逆矩阵是矩阵本身
常数的逆矩阵会变成原来的倒数
逆矩阵的初步应用
求未知矩阵的n次时 往往用逆矩阵将其转化为已知矩阵的n次【已知矩阵的n次要先算几个看出规律】
有关于矩阵的函数也可以用逆矩阵转化 先算对角矩阵再求出转化矩阵
克拉默法则
克拉默法则用于求线性方程组的解
矩阵分块法
矩阵分块法的作用是把行数和列数较多的矩阵转化为几个行数和列数比较少的矩阵 分块做
分块矩阵的性质
分块矩阵的性质 比如相加 数乘 相乘 转置 逆矩阵和普通矩阵全部相同
分块矩阵的应用
把矩阵分块简化问题
矩阵的初等变化与线性方程组
矩阵的初等变换
矩阵初等变换的定义:
对换两行
某一行数乘k
某一行所有元素的k倍加到另一行上
行阶梯型矩阵
左下方的元素全为0
每一行都有非0首元
行最简型矩阵
非零首元均为1
非零首元所在列除了非零首元外全为0
标准型F
标准型是行最简形矩阵更加特殊的情况
左上角是一个单位阵
其余元素全为0
初等矩阵
只经过一次初等变换的矩阵成为初等矩阵
标准型的应用
这里的X可以是矩阵 也可以是"Ax=b" x也可以是线性方程组的解
一些关于矩阵初等变化的性质
矩阵的秩
求解矩阵的秩的前提条件:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
R（A,B）表示的两个矩阵拼起来的秩 R（A+B）表示的是两个矩阵相加的秩
求解矩阵的秩
把矩阵化为行阶梯形矩阵 看看矩阵有多少非0行 这就是矩阵的秩
想要同时求R（A）和R（B）不妨把他们拼起来变成R（A,B）只进行初等行变换变成行阶梯形矩阵 这样可以同时看出来三个矩阵的秩
常见的矩阵的秩的性质
线性方程组的解
线性方程组的解
非齐次线性方程组
齐次线性方程组
线性方程组通解的求法
注意这种通解的写法 设自由变量为c后:①矩阵内的数字是‘x1=c1+2c2+4’前面的几个系数 分别写成几列 有自由变量的在前面加自由变量 ②自由变量c本身的系数为1 但他们的1不能写在同一个列矩阵中 要补充上0
逆序对是一组数中所有的逆序对的总数 思维导图模板大纲
奇排列:逆序对为奇数
偶排列:逆序对为偶数
两种行列式的值都是D=a1a2a3....an 其中下面的那个行列式被称为下三角行列式 当然上三角行列式也同理思维导图模板大纲
子主题 1
子主题 2
这两个性质综合起来可以得到如下的性质: 如果出现常数和几个代数余子式加起来 我们可以把它合并成一个新的行列式思维导图模板大纲
这些都是对角阵思维导图模板大纲
所以总结一下 对于左边矩阵永远是横向 右边矩阵永远是纵向思维导图模板大纲
矩阵规律和指数函数规律相同思维导图模板大纲
对称矩阵最重要的性质 其他的都可以用这个推出来思维导图模板大纲
行和列这样都算是初等变换 经过行变换叫做行等价 经过列变换叫做列变换 如果两者都有 就说矩阵A和矩阵B等价思维导图模板大纲
A与B等价->A~B
行阶梯型矩阵可用于求矩阵的秩思维导图模板大纲
行最简形矩阵可以用于求线性方程组的通解思维导图模板大纲
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