2023考研数学定积分与不定积分知识点整理思维导图

•定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

•分部积分法

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

(1)曲边梯形的面积（2)变速直线运动的路程

•定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

•定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积

•性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

•推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

•推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

•性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)≤dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

•性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）(b-a)。

设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。