高一数学：阅读二次函数与一元二次方程根的分布综合思维导图

(1) 预习题

1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？

由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？

解：经配方有y＝2(x-2)2-7

∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，

∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此

ymax=f(4)＝1．

ymin＝f(3)＝-5．

2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？

由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．

解：经配方有y＝2(x-a)2+3．

对称轴为x=a．

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．

当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知．

当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21．

当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3．

其中，a≤3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35．

a≥3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．

当a≥4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．

(2) 基础题

例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：

(1)m为何值时，有一正根、一负根．

(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．

(3)m为何值时，有两正根．

(4)m为何值时，有两负根．

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．

∴ m＜-2．

反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．

(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．

依韦达定理有

(m+2)+2(m-1)+1＜0．

(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．

∴(7m+1)(9m+10)＜0．

例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根？

解：负数根首先是实数根，∴ ，

由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．

由以上分析，有

即

∴当 时，原方程有两个负数根．

(3) 应用题

例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？

解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．

例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．

解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1，β＞2．

例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．

(4) 提高题

例1．已知函数 的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．

解：（1）当 ，则所给函数为二次函数，图象满足：

，即

解得：

（2）当 时，

若 ，则 的图象不可能都在x轴上方，∴

若 ，则y=3的图象都在x轴上方

由（1）（2）得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．

解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．

如图，0＜α＜1＜β的条件是

解得

例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．

解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的

解得-12＜a＜0．

四、课后演武场

1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）

A． B． C． D．

2.方程 x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）

A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0D．-1＜m＜1

3.已知方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）

A． B．

C． D．

4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．

可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）

5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是