人教版高一年级数学知识点复习思维导图

1.函数的奇偶性

1若fx是偶函数，那么fx=f-x;

2若fx是奇函数，0在其定义域内，则f0=0可用于求参数;

3判断函数奇偶性可用定义的等价形式：fx±f-x=0或fx≠0;

4若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

5奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

1复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[gx]的定义域由不等式a≤gx≤b解出即可;若已知f[gx]的定义域为[a,b],求fx的定义域，相当于x∈[a,b]时，求gx的值域即fx的定义域;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

2复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像（或方程曲线的对称性）

1证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在图像上;

2证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心对称轴的对称点仍在C2上，反之亦然;

3曲线C1：fx,y=0,关于y=x+ay=-x+a的对称曲线C2的方程为fy-a,x+a=0或f-y+a,-x+a=0;

4曲线C1:fx,y=0关于点a,b的对称曲线C2方程为：f2a-x,2b-y=0;

5若函数y=fx对x∈R时，fa+x=fa-x恒成立，则y=fx图像关于直线x=a对称;

6函数y=fx-a与y=fb-x的图像关于直线x=对称;

4.函数的周期性

1y=fx对x∈R时，fx+a=fx-a或fx-2a=fxa>0恒成立,则y=fx是周期为2a的周期函数;

2若y=fx是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则fx是周期为2︱a︱的周期函数;

3若y=fx奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则fx是周期为4︱a︱的周期函数;

4若y=fx关于点a,0,b,0对称，则fx是周期为2的周期函数;

5y=fx的图象关于直线x=a,x=ba≠b对称，则函数y=fx是周期为2的周期函数;

6y=fx对x∈R时，fx+a=-fx或fx+a=，则y=fx是周期为2的周期函数;

5.方程k=fx有解k∈DD为fx的值域；

a≥fx恒成立a≥[fx]max,;a≤fx恒成立a≤[fx]min;

1a>0,a≠1,b>0,n∈R+;

2logaN=a>0,a≠1,b>0,b≠1;

3logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

4alogaN=Na>0,a≠1,N>0;

6.判断对应是否为映射时，抓住两点：

1A中元素必须都有象且;

2B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

7.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

8.对于反函数，应掌握以下一些结论：

1定义域上的单调函数必有反函数;

2奇函数的反函数也是奇函数;

3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

4周期函数不存在反函数;

5互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

6y=fx与y=f-1x互为反函数，设fx的定义域为A，值域为B，则有f[f--1x]=xx∈B,f--1[fx]=xx∈A;

9.处理二次函数的问题勿忘数形结合

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

10.依据单调性

利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

幂函数的性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^p/q=q次根号x的p次方，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/x^k，显然x≠0，函数的定义域是-∞，0∪0，+∞.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能，即对于x<0x="">0的所有实数，q不能是偶数;

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

1所有的图形都通过1，1这点。

2当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

3当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

4当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

5a大于0，函数过0，0;a小于0，函数不过0，0点。

6显然幂函数无界。

解题方法：换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。