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高中数学三年基础知识点总结思维导图

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高中数学三年基础知识点总结思维导图,知识点包含平面的基本性质和推论、空间中的平行关系、空间中的垂直关系、和导数。其中平面基本性质包含三个公理,空间点、直线、平面之间的位置关系包含直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、相交、异面,异面直线的角度范围为(0,90)度,且不同在任何平面内。判定直线和平面平行的标准是线线平行,直线与平面垂直的定义是直线和平面内任意一条直线都垂直,平面与平面垂直的定义是二面角为直角的情形,导数的定义包含导数第一定义和导数第二定义,而导函数和导数是函数可导的条件。

思维导图大纲

高中数学三年基础知识点总结思维导图模板大纲

一、平面的基本性质与推论

1、平面的基本性质:

公理1如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;

公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2、空间点、直线、平面之间的位置关系:

直线与直线—平行、相交、异面;

直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内,最易忽视);

平面与平面—平行、相交。

3、异面直线

平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);

所成的角范围(0,90)度(平移法,作平行线相交得到夹角或其补角);

两条直线不是异面直线,则两条直线平行或相交(反证);

异面直线不同在任何一个平面内。

求异面直线所成的角:平移法,把异面问题转化为相交直线的夹角

二、空间中的平行关系

1、直线与平面平行(核心)

定义:直线和平面没有公共点

判定:不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面(由线线平行得出)

性质:一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线就和两平面的交线平行

2、平面与平面平行

定义:两个平面没有公共点

判定:一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,则这两个平面平行

性质:两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线

三、空间中的垂直关系

1、直线与平面垂直

定义:直线与平面内任意一条直线都垂直

判定:如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直,则该直线与此平面垂直

性质:垂直于同一直线的两平面平行

推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面

直线和平面所成的角:【0,90】度,平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角,特别规定垂直90度,在平面内或者平行0度

2、平面与平面垂直

定义:两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)

判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

四、导数

(一)导数第一定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时,相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第一定义

(二)导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义,当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时,相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在,则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导,并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即 导数第二定义

(三)导函数与导数

如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导,就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数,记作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

(四)单调性及其应用

1、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤

(1)求f(x)

(2)确定f(x)在(a,b)内符号 (3)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;若f(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数

2、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

(1)求f(x)

(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间

学习了导数基础知识点,接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。

五、高中数列基本公式:

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=

2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式

当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式: an= a1qn-1an= akqn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)

5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);

六、高中数学中有关等差、等比数列的结论

1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则

3、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列仍为等比数列。

7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d

10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;

四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3

七、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性.

3、集合的表示:

(1)如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(2).用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

4、集合的表示方法:列举法与描述法。

常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

5、关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a?A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

6、集合的分类:

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}=Φ

八、集合间的基本关系

1、“包含”关系—子集注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2、“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B

①任何一个集合是它本身的子集。即A?A

②如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或BA)

③如果A?B,B?C,那么A?C

④如果A?B同时B?A那么A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算

4、交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

5、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

6、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,

A∪φ=A,A∪B=B∪A.

7、全集与补集

(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作:CSA即CSA={x?x?S且x?A}

(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,看作一个全集。通常用U来表示。

(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

九、函数的有关概念

合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

1、能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

再注意:

(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法:

①表达式相同;

②定义域一致(两点必须同时具备)

3、区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;

(2)无穷区间;

(3)区间的`数轴表示

4、映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A?B”

给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

5、常用的函数表示法:解析法:图象法:列表法:

6、分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集

7、函数单调性

(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法:○1任取x1,x2∈D,且x1

8、函数的奇偶性

(1)一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2)一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意:○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,○则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.9、函数的解9、析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)。

补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质

轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。

十、求动点的轨迹方程的基本步骤。

1、建立适当的坐标系,设出动点M的坐标;

2、写出点M的集合;

3、列出方程=0;

4、化简方程为最简形式;

5、检验。

十一、求动点的轨迹方程的常用方法:

求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

1、直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

2、定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

3、相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

4、参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

5、交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

求动点轨迹方程的一般步骤:

①建系——建立适当的坐标系;

②设点——设轨迹上的任一点P(x,y);

③列式——列出动点p所满足的关系式;

④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简;

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

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