2021考研数学基础知识点梳理总结(1)思维导图包含以下九个章节,第一章介绍了函数的有界性、极限的定义、性质和计算方法,和函数的连续性、间断点类型和渐近线的计算,第二章讨论了导数与微分的定义,和导数的计算方法和应用。第三章则介绍了闭区间上连续函数的性质,和三大微分中值定理、积分中值定理、泰勒中值定理和费马引理。第四章围绕原函数、不定积分和定积分展开,具体讲解了他的定义、计算方法、性质和应用,最后包含到变限积分和广义积分,第五章则讲解了空间解析几何中向量的运算和直线平面的方程关系,和各种曲面方程的求法。第六章聚焦于多元函数微分学,讨论了二重极限、函数连续性、偏导数、可微及全微分的定义、计算、关系和极值。第七章介绍了各类积分的计算对称性,包含二重积分、三重积分、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分,和格林公式、高斯公式和斯托克斯公式,第八章重点讲解了各种微分方程的求解和性质,并给出了一些常见的应用,如几何及物理背景下的微分方程。最后一章则介绍了级数和傅里叶级数的基本概念和性质,学习者需要熟悉收敛级数的性质、正项级数的判别法、交错级数的莱布尼兹判别法、绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛半径和展开、和傅里叶级数的展开和狄利克雷定理。
2021考研数学基础知识点梳理总结(1)思维导图模板大纲
1、函数的有界性
2、极限的定义(数列、函数)
3、极限的性质(有界性、保号性)
4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)
5、函数的连续性
6、间断点的类型
7、渐近线的计算
1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)
2、导数的计算("三个法则一个表":四则运算、复合函数、反函数,基本初等函数导数表;"三种类型":幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)
3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))
1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)
2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)
3、积分中值定理
4、泰勒中值定理
5、费马引理
1、原函数与不定积分的定义
2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)
3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))
4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)
5、定积分的计算
6、定积分的应用(几何应用:面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二),物理应用:变力做功、形心质心、液体静压力)
7、变限积分(求导)
8、广义积分(收敛性的判断、计算)
1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)
2、直线与平面的方程及其关系
3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法
1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义
2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系
3、多元函数偏导数的计算(重点)
4、方向导数与梯度
5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)
6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线
1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)
2、三重积分的计算("先一后二"、"先二后一"、球坐标)
3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)
4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理:"补线"、"挖洞"),积分与路径无关,二元函数的全微分)
5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))
6、斯托克斯公式(要求低;何时用:计算第二类曲线积分,曲线不易参数化,常表示为两曲面的交线)
7、场论初步(散度、旋度)
1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解
2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)
3、应用(由几何及物理背景列方程)
1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、"加括号"、"有限项")
2、正项级数的判别法(比较、比值、根值,p级数与推广的p级数)
3、交错级数的莱布尼兹判别法
4、绝对收敛与条件收敛
5、幂级数的收敛半径与收敛域
6、幂级数的求和与展开
7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数,狄利克雷定理)
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