2022高考考场数学知识点思维导图

正交矩阵的行列式是+1或−1。实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

矩阵的作用就是一个运动的快照，矩阵乘以一个向量，相当于将这个向量进行旋转，伸缩。而如果是正交矩阵乘以一个向量，它就是所有保持原点不动、长度不变的线性变换。

比如旋转，比如反射。就这两种。前者保持定向，后者反向。以二维为例，正交矩阵都为[cos(a)，sin(a);-sin(a)，cos(a)]，或者[1，0;0，-1]，或者这两者的组合的形式。前者是旋转a弧度，后者是按x轴反射。

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似，但当这两个矩阵是实对称矩阵时，有相同的特征值必相似。比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。当这两个矩阵都是实对称矩阵时，都一定可以对角化，于是有相同的特征值就一定相似。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：

相似矩阵的行列式相等。相似矩阵有相同的特征值、特征行列式，行列式也是相等的。另外，两矩阵的迹、秩，都是相等的。设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A~B。对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵。

若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使其为对角阵，则称方阵A可对角化。

n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：