初中数学有理数思维导图
初中数学有理数思维导图是学习有理数的重要工具，在学习中需要掌握的基本概念有正数、负数、0的概念，和有理数的分类和大小比较方法。加减法的法则包含同号两数相加、绝对值不相等的异号两数相加、互为相反数的两数相加、一个数与0相加、减法的法则，乘除法的法则包含同号两数相乘、异号两数相乘、除以一个不等于0的数、任何数与0相乘。学习了倒数的概念和乘方的性质，掌握了运算顺序，和数轴和相反数的含义和求法，在实际应用中，需要注意数轴上点的移动规律和相反数的性质与判定。
思维导图大纲
初中数学有理数思维导图思维导图模板大纲
正数和负数
概念
正数：比0大的数
0：既不是正数，也不是负数
0表示“ 没有”
是正数和负数的分界线
负数：比0小的数
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量
有理数
概念
正整数、0、负整数统称为整数
0和正整数统称为自然数
正分数和负分数统称为分数
正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数
只有能化成分数的数才是有理数
π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数
有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数
分类
正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
负整数、0统称为非正整数
正有理数、0统称为非负有理数
负有理数、0统称为非正有理数
大小的比较
利用数轴比较两个数的大小
数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小
利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
异号两数比较大小，正数大于负数
加减法
加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
互为相反数的两数相加，和为零
一个数与零相加，仍得这个数
加法的运算律
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
加法性质
一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数
减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数
加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式
乘除法
乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
任何数同0相乘，都得0
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数
几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0
倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数
0没有倒数
求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数
倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0
乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等
乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加
除法法则
除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
乘除混合运算
乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行
有理数的乘方
乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂
乘方的性质
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
有理数的混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减
同级运算，从左到右进行
如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行
数轴
概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴
数轴是一条向两端无限延伸的直线
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一
数轴的三要素都是根据实际需要规定的
数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系
利用数轴表示两数大小
在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数
两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小
数轴上特殊的最大(小)数
最小的自然数是0，无最大的自然数
最小的正整数是1，无最大的正整数
最大的负整数是-1，无最小的负整数
a可以表示什么数
a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0
a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
a=0表示a是0；反之，a是0，则a=0
数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置
相反数
概念
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0
相反数是成对出现的
相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负
0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0
性质与判定
任何数都有相反数，且只有一个
0的相反数是0
互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数
互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等
0的相反数对应原点；原点表示0的相反数
相反数的求法
求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得
例：3的相反数是-3
求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简
例：3a+b的相反数是-(3a+b)。化简得-3a-b
求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简
例：-3的相反数是-(-3)，化简得3
表示方法
数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0
当a>0时，-a<0(正数的相反数是负数)
当a<0时，-a>0(负数的相反数是正数)
当a=0时，-a=0，(0的相反数是0)
多重符号的化简
“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略
“-”号的个数决定最后化简结果
“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正
绝对值
绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|
绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身
一个负数的绝对值是它的相反数
0的绝对值是0
绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性
0的绝对值是0；绝对值是0的数是0
字母表示：a=0 <═> |a|=0
一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0
字母表示：|a|≥0
任何数的绝对值都不小于原数
字母表示：|a|≥a
绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数
字母表示：若|x|=a(a>0)，则x=±a
互为相反数的两数的绝对值相等
字母表示：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|
绝对值相等的两数相等或互为相反数
字母表示：|a|=|b|，则a=b或a=-b
若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0
字母表示：|a|+|b|=0，则a=0且b=0
绝对值的化简
当a≥0时， |a|=a
当a≤0时， |a|=-a
已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数
在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称思维导图模板大纲
字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数;当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0思维导图模板大纲
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