高一数学：函数的对称性总结思维导图

一、 函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、 不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P'（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P'（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、 三角函数图像的对称性列表

函 数对称中心坐标对称轴方程

y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2

y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπ

y = tan x(kπ/2 ,0 )无

注：①上表中k∈Z

②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。