几何分布的期望 方差思维导图
几何分布，P(X=n)=(1−p)^(n−1)p，随着n增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数。这可能和以前几何学中无限分割图形得到的级数有关。
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思维导图大纲
几何分布的期望 方差思维导图模板大纲
解题过程
期望用E表示，方差用D表示，一般把自变量记做ξ，如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么，其期望为Eξ=∑ξ*Pξ，方差为Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ，根据方差的概念，可知：
ξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)
所以Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2
期望：
Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p①
(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p
(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p②
①－②得p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p
所以
Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)
=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)
=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p
=1/p
若要计算方差，可以根据公式Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2计算，
其中E(ξ^2)的计算过程如下：
E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p－∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p①
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p②
由①得
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p③
③－②得
p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)④
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)⑤
由④得
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)⑥
⑥－⑤得
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p
=1/p＋2*(1-p)/p/p
=(2-p)/p/p
若求方差，根据公式Dξ=E(ξ^2)－Eξ^2得，
Dξ=(2-p)/p/p－1/p/p
=(1-p)/p^2
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