高等数学之向量思维导图
高等数学之向量思维导图向量是由n个数a1,a2,...an组成的有序数组,其中a1,a2,...an分别称为向量a的分量。向量包含列向量和行向量，若所有分量都为0，则称其为零向量。向量的加法和数乘运算规则如下：向量相等当且仅当其各分量依次相等，向量加法满足交换律和结合律，且有零向量和相反向量的概念，向量数乘则将每个分量乘以一个数，特别地，0向量数乘任何数得到的结果是0向量，向量的线性表出概念和其对应的计算方法，包含了能否线性表出、唯一表出、无穷表出和不能表出，如何通过线性表出的概念计算Ax=b，得到的解法结果包含自由主题和行最简形式。一个定理，当向量ß可以由n个向量线性表出时，若方程有解，则矩阵的秩为m+1，其中m为向量数量，矩阵的维数为n*m。
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向量概念
n个数a1,a2,...an所组成的有序数组
其就叫做n维向量
其中a1,a2,...an叫做向量a的分量(或坐标)
[a1] [a2] [a3] [......] [an]
列向量
[a1,a2,a3...an]
行向量
如果向量的所有分量都是0，那么称其为零向量，记作0 = (0,0,...0)^T
向量运算
设有n维向量
∂ = (a1,a2,...an)^T ß = (b1,b2,...bn)^T
如果 ∂ = ß <=> a1 = b1, a2 = b2 .... an = bn
相等向量处处相等
∂ + ß = (a1 + b1, a2+b2,.... an+bn)^T
k∂ = (ka1, ka2...kan)^T
特别的
0∂ = (0,0,....0)^T = 0
-∂ = (-a1, -a2....,-an)^T
加法公式
∂ + ß = ß + ∂
(∂ + ß) + γ = ∂ + (ß + γ)
∂ + 0 = ∂
∂ + (-∂) = 0
乘法公式
1∂ = ∂
k(ß∂) = (kß)∂
k(∂ + ß) = k∂ + kß
线性表出
定义
m个n维向量∂1,∂2,....∂m及m个实数k1,k2,...km称
k1∂1 + k2∂2 + ...+km∂m 是向量∂1,∂2...∂m的一个线性组合
其中 k1,k2,...km称为线性组合的系数
如果向量ß能表示为∂1,∂2...∂m的线性组合，即存在一组k1,k2,...km 使得 ß = k1∂1 + k2∂2 + ... + km∂m
则称向量ß可以由∂1,∂2...∂m线性表出
例如
可以表出
唯一表出
∂1 = (1,0)^T, ∂2 = (0,1)^T,ß = (3 ,5)^T
那么(3,5)^T = 3(1,0)^T + 5(0,1)^T
称ß可以被∂1，∂2线性表出
无穷表出(多种表出)
∂1 = (1,0)^T, ∂2 = (0,1)^T, ∂3 = (1,1)^T,ß = (3 ,5)^T
那么(3,5)^T = (1,0)^T + 3(0,1)^T + 2(1,1)^T
(3,5)^T = 2(1,0)^T + 4(0,1)^T + (1,1)^T
(3,5)^T = 0(1,0)^T + 2(0,1)^T + 3(1,1)^T
......
称ß可以被∂1，∂2线性无穷表出
不能表出
∂1 = (1,0)^T, ∂2 = (1,0)^T,ß = (3 ,5)^T
那么(3,5)^T 无法等于 k1(1,0)^T + k2(1,0)^T
称ß不可以被∂1，∂2线性表出
计算 Ax = b Ax = 0
设x1∂1 + x2∂2 + x3ß3 = ß
∂1 = (1,2,3)^T ∂2 = (1,3,4)^T, ∂3 = (2, -1, 1)^T ß = (2,5,t)^T
那么x1(1,2,3)^T + x2(1,3,4)^T + x3(2,-1,1)^T = (2,5,t)^T
得到 x1 + x2 + 2x3 = 2 2x1 + 3x2 - x3 = 5 3x1 + 4x2 + x3 = t
可得增广炬阵 =
[1 1 2 | 2] [2 3 -1 | 5] = [3 4 1] t]
转换阶梯型
[1 1 2 | 2] [0 1 -5| 1] = [0 0 0| t-7]
所以 3*0 + 4*0 + 0 = t-7 所以t = 7时才有ß
由t = 7可得矩阵
[1 1 2 | 2] [0 1 -5 | 1] =变成行最简矩阵，解出来x [0 0 0| 0]
[1 0 7 | 1] [0 1 -5 | 1] [0 0 0| 0]
设x3 = k
x1 + 2k = 1 x2 - 5k = 1 x1 = 1-2k x2 = 1+5k
得到ß = (1-7k)∂1 + (1 + 5k)∂2 + k∂3
步骤
设表达式x1∂1 + x2∂2 + x3∂3 = ß
得到对应增广矩阵，转换为行最简，求得未知数
设未知数得到ß表达式
定理
向量ß可以由∂1,∂2,∂3线性表出 ->存在 实数k1,k2...km使得
k1∂1 + k2∂2 + ...km∂m = ß
[∂1∂2...∂m] [k1 ] [k2 ] = ß [... ] [km]
k可换成x
若方程有解，那么 秩((∂1∂2...∂m) = 秩(∂1,∂2....∂mß)
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