高等数学-代数思维导图
高等数学-代数思维导图其中核心知识点包含行列式、矩阵知识、相似理论、方程、向量组、特征值与特征向量、矩阵方程、实对称矩阵和正交矩阵、二次型。在行列式中，需要掌握具体型行列式的计算方法，如化为13种基本行列式、拉普拉斯展开式、加边法，还需要使用数学归纳法方法求抽象型行列式的值。在矩阵的相关知识中，需要了解矩阵的秩为1时可拆解的情况，和如何用相似理论求解矩阵的伴随和逆，还需要熟练掌握行列式、矩阵的秩、线性方程组的解法、向量组的极大线性无关组、特征值和特征向量，需要熟悉正交矩阵的特点和他和实对称矩阵的合同关系。
思维导图大纲
高等数学-代数思维导图模板大纲
线性代数
行列式
具体型行列式的计算
化为13种基本行列式
主对角线形
副对角线形
拉普拉斯展开式
范德蒙德行列式
加边法
递推法
数学归纳法
抽象型行列式的计算
用行列式性质
矩阵知识
相似理论
方程
余子式和代数余子式
行列式
矩阵
特征值
求代数余子式的问题
矩阵
求A^n
矩阵的秩为1时，矩阵可拆
试算平方立方的情况寻找规律
A = B+C 要求BC = CB
左行右列定理
相似理论
A的伴随
A的逆
分块矩阵
初等矩阵
矩阵方程
矩阵的秩
线性方程组
具体型
含参数的线性方程组
求解两个方程组的公共解与同解
抽象型
解的判定
基础解系
解的结构
解与系数的关系
用方程组的解讨论秩
向量组
具体型向量关系
β与α1 α2....
α1 α2...
极大线性无关组
抽象型向量关系
定义法
秩
向量组等价
r(A) = r(B) = r(A|B)
相似理论
特征值与特征向量
特征值
求特征值
A的行列式为特征值累乘
A的迹为特征值累加
f(A)可替换f(特征值)
特征向量
特征向量为(特征值E-A)x = 0的非零解
k重特征值最多有k个线性无关的特征向量
属于不同特征值的特征向量必线性无关
属于同一特征值的特征向量的线性组合也是属于该特征值的特征向量
属于不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量
矩阵方程
注意行和相等的行列式有1特征向量
A相似对角化
充要条件
A有n个线性无关的特征向量
ni = n - r(特征值E - A)
充分条件
A是实对称矩阵
A有n个不同的特征值
A² = E
A² = A
r(A) = 1 且 tr(A) ≠ 0
必要条件
r(A) = 非零特征值的个数
否定条件
A的特征值全为k但A≠kE
A≠0 但A的k次方 = 0
A ~ B
行列式相同
秩相同
特征值相同
迹相同
实对称矩阵和正交矩阵
实对称矩阵
特征值全为实数，特征向量全为实向量
不同特征值对应的特征向量必正交
可用正交矩阵相似对角化
正交矩阵
转置和逆相等
二次型
拉格朗日配方法
正交变换法
实对称矩阵的合同
合同为正负特征值个数相等
求变换矩阵可用配方法
正定二次型
前提为A是实对称矩阵
六个充要条件
对任意x≠0，xTAx>0
q = n
A与E合同
A = DTD D为可逆矩阵
A的特征值全大于0
A的顺序主子式全大于0
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