把握原理解决牛吃草问题思维导图

"牛吃草问题"是非常经典的一类数学运算题型，在小学奥数里通常是用"公式法"进行求解，而在数量关系考试当中我们更多利用核心公式列方程来求解，这两种方法虽然本质一样，但是后者效率更高一些。在做题过程中很多学员反馈说我已经把牛吃草问题的公式记熟了，但是为什么还是不会列式做题呢?原因很简单，就是大家没有从原理上理解牛吃草问题的公式，我们不仅要记公式，更重要的是理解公式的来源和本质，只有做到真正地理解，才能在多变的试题中做到以不变应万变。

我们知道牛吃草问题的核心公式是:。其中"y"代表原有存量(即"原有草量")，"N聽"代表促使原有存量减少的变量(即"牛头数")，"x"代表存量的自然增长速度(即"草长度")，""代表存量完全消失所耗用的时间。

首先我们来分析一下这个公式：我们知道牛吃草问题描述的是一群牛去吃一片草地，牛在吃草的过程中草也在不断的生长，但是这群牛吃草的速度要快于草生长的速度，换句话说就是这群牛每天除了吃掉新长出来的草以外，还会吃一部分原有的草，最后会把草地上的草全部吃完。那么就有原有草量=(牛群吃草速度-草生长速度)脳吃完草时间，因此结合公式我们知道"N"应该代表牛群吃草速度，但是为什么说"N" 可以表示牛头数呢?原因就是我们默认每头牛的吃草速度是一样的，而题目中没有给出具体的值，因此我们给每头牛的吃草速度赋值为1，那么这群牛的吃草速度为，即与牛头数是一致的，因此可以用牛头数来代替，而草的生长速度我们也不知道，那么我们就将其设为每头牛吃草速度的x倍，即x。但是当题目中给出每头牛的吃草速度时需要注意=牛头数脳每头牛吃草速度，此时我们仍然可以设草的生长速度为。

当然，在实际考试过程中牛吃草模型可以套用到游泳池放水、漏船排水、窗口售票、资源开采等各种环境，但是万变不离其宗，只要我们能够明确原有存量、促使原有存量减少的变量、促使存量增多的变量分别指的是什么，然后按照公式列方程，所有问题都可以迎刃而解 。

例题精讲

【例1】：某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B

【解析】本题属于资源开采，没有告诉每个人员的开采速度，可以直接套用牛吃草公式。其中y是指河沙初始量, 是指开采速度(单个人员开采速度赋值为1，N则可指参与开采的人数)，x指河沙沉积速度，T指开采时间。将题干中的条件代入有。联立①②可得N=30,要想进行不间断开采，则最大开采速度应等于沙河沉积的速度，即N=30，则最多可供30人进行开采。故正确答案选B。

【点拨】

【例2】：某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水，船员发现险情后立即开启抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20立方米，若同时使用2台抽水机15分钟能把水抽完，若同时使用3台抽水机9分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮船已进水( )立方米。

A.360

B.450

C.540

D.600

【答案】B

【解析】本题属于漏船排水，仍然是牛吃草问题的变形式，可以套用牛吃草公式。这里，抽水机相当于"牛"，进水相当于新长出来的"草"，抽水前已进水量相当于"原有草量"，由于本题给出了每台抽水机的速度，所以N=抽水机数量脳每台抽水机速度，另外可以设初始进水量为y立方米,设进水速度x立方米/分钟，T指将水抽干的时间，将题干中的条件代入有。联立①②可得=10，，故当抽水机开始向外抽水时该轮船已经进水450立方米。所以选B。

【点拨】

【例3】：由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一致，若打开2个水闸放水，则3天后正好到达警戒水位;若打开3个水闸放水，则4天后正好到达警戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位?

A.8

B.7

C.6

D.5

【答案】C

【解析】本题属于牛吃草问题的变形，只不过不同的是本题的进水速度大于放水速度，因此水池的水在不断增加，而不是减少。但是原有水量的水位到警戒水位之间所能存放的水量是固定的，设为，进水速度设为，表示放水速度(题目未告诉单个水闸放水速度，可赋值为1，则可指水闸个数)，T表示达到警戒水位所用的时间，则有，根据题意代入数据可得①，②。联立①②可得=6，。气象台预报，流入水库的水量增加20%，则每天进入水库的水量为，设至少打开n个水闸可以保证未来7天不达到警戒水位，则有，解得所以至少打开5.5个水闸才能满足条件，应该向上取整为打开6个水闸。故正确答案选C。

【点拨】

通过以上原理以及例题的讲解，相信大家对牛吃草问题有了更加深入的认识。在今后的练习当中大家要抓住牛吃草问题公式的本质，多加练习，多加总结，最后一定可以将这类问题收入囊中。最后预祝各位考生在考试中脱颖而出，成功上岸。