高中三年数学冲刺的52个知识点总结(下)思维导图中的知识点包含易错点、函数单调性、函数周期性、奇偶函数概念的推广、函数对称性、柯西函数方程和与三角形有关的定理或结论。易错点要注意数列和函数的一些特殊情况,如数列的通项公式和函数的最值问题,函数单调性要注意区间上的连续性,函数周期性包含多种表达方式,奇偶函数概念的推广则更加抽象。函数对称性要注意关于中心和轴对称的定义,柯西函数方程包含多种类型。最后是与三角形有关的定理或结论,包含正切定理、射影定理、内切圆和外接圆,易错点因为综合性不足,函数相关知识需要细致理解,三角形相关定理需要记忆掌握。
高中三年数学冲刺的52个知识点总结(下)思维导图模板大纲
(1)数列未考虑a1是否符合根据sn-sn-1求得的通项公式;
(2)数列并不是简单的全体实数函数,即注意求导研究数列的最值问题过程中是否取到问题
①函数单调性的含义:大多数同学都知道若函数在区间D上单调,则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小),但有些意思可能有些人还不是很清楚,若函数在D上单调,则函数必连续(分段函数另当别论)这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单调递增,因为它的图像被无穷多条渐近线挡住,换而言之,不连续.还有,如果函数在D上单调,则函数在D上y与x一一对应.这个可以用来解一些方程.至于例子不举了
②函数周期性:这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设f(x)为R上的函数,对任意x∈R
(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值,下同)
(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)
(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a
(4)设T≠0,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则函数的周期为2
(1)对于函数f(x),若存在常数a,使得f(a-x)=f(a+x),则称f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数,且当有两个相异实数a,b满足时,f(x)为周期函数T=2(b-a)
(2)若f(a-x)=-f(a+x),则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数,当有两个相异实数a,b满足时,f(x)为周期函数T=2(b-a)
(3)有两个实数a,b满足广义奇偶函数的方程式时,就称f(x)是广义(Ⅱ)型的奇,偶函数.且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数,那么当f在[a+b/2,∞)上为增函数时,有f(x1)
(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b/2,c/2)成中心对称
(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b/2成轴对称
柯西函数方程:若f(x)连续或单调
(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax
(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x²u(u由初值给出)
(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a²x
(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则f(x)=ax+b特别的若f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x)=kx
①正切定理(我自己取的,因为不知道名字):在非Rt△中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理):
在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA
③任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c(S为面积),外接圆半径应该都知道了吧
④梅涅劳斯定理:设A1,B1,C1分别是△ABC三边BC,CA,AB所在直线的上的点,则A1,B1,C1共线的充要条件是CB1/B1A•BA1/A1C•AC1/C1B=1
(1)函数的各类性质综合运用不灵活,比如奇偶性与单调性常用来配合解决抽象函数不等式问题;
(2)三角函数恒等变换不清楚,诱导公式不迅捷。
(1)忽略三角函数中的有界性,三角形中角度的限定,比如一个三角形中,不可能同时出现两个角的正切值为负
(2)三角的平移变换不清晰,说明:由y=sinx变成y=sinwx的步骤是将横坐标变成原来的1/∣w∣倍
若OA垂直OB,则有1/∣OA∣²+1/∣OB∣²=1/a²+1/b²
(1)扔掉计算器
(2)仔细审题(提倡看题慢,解题快),要知道没有看清楚题目,你算多少都没用
(3)熟记常用数据,掌握一些速算技
(4)加强心算、估算能力
(5)检验
(1)向量的运算不完全等价于代数运算;
(2)在求向量的模运算过程中平方之后,忘记开方。
比如这种选择题中常常出现2,√2的答案…,基本就是选√2,选2的就是因为没有开方;
(3复数的几何意义不清晰
asint+bcost=[√(a²+b²)]sin(t+m)其中tanm=b/a[条件:a>0]
说明:一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m,个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。
举例说明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),
因为tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)
(1)数列求和中,常常使用的错位相减总是粗心算错
规避方法:在写第二步时,提出公差,括号内等比数列求和,最后除掉系数;
(2)数列中常用变形公式不清楚,如:an=1/[n(n+2)]的求和保留四项
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