信号与系统思维导图
信号与系统详述
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思维导图大纲
信号与系统思维导图模板大纲
信号与系统概论
信号
信号的描述与分类
信号的定义
信息的载体，通常表现为某种物理量的变化
信号的描述
公式法
解释
通过建立物理量的变化和时间（或/和空间）变化的数学关系来描述信号随时间（或/和空间）变化过程
常用形式
闭式表达式
图形法
解释
通过对其变化过程的图形话记录来描述信号
表格法
信号的分类
确定信号与随机信号
特点
随机信号信号在时间点上的取值是一个不确定的变量，但变量取值有一定的范围
随机信号具体取值可能符合某种随机分布
随机信号更多的出现在通信系统中，包含对信号类型的识别
本学期学习限于确定信号
连续时间信号与随机事件信号
学习要求
限于连续时间信号与离散时间信号
先连续，后离散
连续时间信号
定义
在时间轴上取值连续的信号
离散时间信号
定义
在时间轴上的取值离散
周期信号与非周期信号
能量有限信号与功率有限信号
特点
通常功率信号为周期信号，而能量信号一定为非周期信号
f（0）？
功率与能量均为无限的信号，称为非功率非能量信号
表示
信号的变量
时间
时域分析
幅度
变换域分析
信号的运算
信号的幅度运算
倍乘运算
微分、积分运算
微分运算
反映变化，体现局部差异
不改变周期性
积分运算
f^(-1)(t)
反映整体特征
可能改变周期性
四则运算
信号的时间运算
反褶运算
时移运算
左提前，右推移
f(t-t0)
压缩与扩展
f（at）
f(at-t0):先压缩，再时移
f(a(t-t0)):先时移，再压缩（以t0为中心）
方法
宗量函数不变法
思路
找关键点确定波形
概念
宗量：函数关系中的变量组合f（t）->f(5t-3) 宗量为5T-3，即（·）表示的部分
时移->压扩->反褶
注意
压扩以原点为基准
压扩->时移->反褶
注意
时移也须压扩
反褶->时移->压扩
注意
时移的方向相反
压扩与反褶互不影响，压扩在时移前则时移也须压扩
基本信号
指数信号
定义
通过复指数函数表示的信号
数学表达式
概念
α
衰减系数
k
f(0)
特点
连续函数
其微分与积分仍然是指数函数
包含
实指数信号
正弦信号
数学表达式
子主题 1
与指数函数关系
Eular公式
指数函数与正弦函数在复数域的关系体现
科学研究的基本方法
通过将问题的背景（或自变量区域）扩大，是寻找在原来区域中两个不同问题共性的常用方法
奇异信号
自身或微分形式或积分形式不连续的信号
分类
单位斜边信号
数学表达式
R(t)=0,t<0
R(t)=0,t>=0
单位阶跃信号
数学表达式
u(t)=0,t<0
u(t)=1,t>0
特点
u(t)在t=0处无定义
单位冲激信号
定义
Dirac函数
形式
场景
对u(t)求导
作用
给单位冲激函数的导数进行某种限制以进行分析
过零点函数求极限
广义函数定义
广义函数提出者
施瓦茨
内容
函数的映射本质：体现自变量与因变量的一一对应关系
δ(t)功能
∫δ(t)·f(t)dt的功能是取得f(t)在t=t0时的函数值
（时移情况）
（反褶情况）
（压扩情况）
（微分情况）
（积分情况）
特性
逻辑上不严密，因为定义不唯一
Dirac函数的本质不是δ(t)的定义而是其性质
无穷大本身就不具有唯一性，但通过对其积分为一的特性将其与其他函数结合起来以利用其功能
特点
由性质来定义，不具有唯一性
同时具有运算量与运算符的功能
运算变量功能
特性
抽样（筛选）性质
偶函数
几种运算
时移运算
特性
建立f(t)与f(t0)对应关系
压扩运算
特性
δ(at）与 1/|a|·δ(t）具有相同功能
反褶运算
运算关系
选择运算
概念
冲激强度
冲激偶
形式
性质
系统
定义
具有特定功能的整体
描述
地位
系统分析的基本前提（正确描述该系统）
方法
建模
基本途径
界定系统的基本组成，以基本子系统为基础，通过各个子系统之间的关系，研究发现或直接运用已有的描述子系统之间关系的规律，得到相应系统的理论模型
基本子系统
基本电流元件
分类
系统的数学模型
作用
描述系统输入输出两端的电流电压关系（必为微分方程）
电路系统的的主要功能体现在电路输入端与输出端的电流电压关系上
分类
电容
电阻
电感
作为子系统构建系统功能
通过Kirchoff电流电压定律
组成连续时间系统系统
建立系统中连续时间系统的一般性系统数学模型
数学表达式
功能框图
思路
仅考虑系统与子系统的功能，不过分考虑其具体实现
（连续时间系统的）基本功能件
加法器
乘法器
数乘器
积分器
微分器
延时器
分类
按元件类型
集总参数系统
参数
电流
电压
数学模型
常微分
分布参数系统
参数
电流
电压
时间
空间
数学模型
偏微分方程
按记忆性
有记忆系统
数学模型
代数方程
定义
输入输出均为连续时间信号
无记忆系统
数学模型
差分方程
定义
输入输出均为离散时间信号
按输入输出类型
连续时间系统
定义
输入输出信号均为连续时间信号
离散时间系统
按可逆性
可逆系统
特性
对于不同激励具有不同响应
不可逆系统
按因果性
因果系统
特性
响应出现时间不早于激励到达的时间
非因果系统
按稳定性
稳定系统
特性
系统的输入输出有限
全局稳定
定义
对任意有界的输入，输出有界
不稳定系统
判断依据
局部不稳定
按线性
非线性系统
例子
y（t）= [x（t）]^2
线性系统
判断依据
输入先线性组合在经系统与先经过系统再线性组合后的输出相同
按时不变性
时不变系统
定义
激励到达的时间改变，系统的响应相应地发生相同时间的改变
判断依据
输入先延时后经系统与输入先经系统后延时的输出相同
思考
先激励再经系统的结果
得到
实际情况下延时的激励经过系统得到的响应
先系统再激励的结果
得到
系统时不变性质下系统对于延时的激励应有的响应
不同则实际响应延时与激励延时不同，系统时变
时变系统
线性时不变系统特性
微积分分特性
响应与激励经过同样微积分
时不变性
线性
系统的分析方法
分类
输入-输出法
系统输入输出关系的分析来研究系统的特性
状态变量法
系统内部组分的状态及其相应的变量的变化
了解系统再特定输入下的输出
求解方法
时域法
经典法
双零法
特点
概念清晰
计算量大
变换域方法
傅里叶变化
FFT
DFT
DTET
拉氏变换
边微分方程为代数方程
Z变换
应用
由激励图像求得相应图像
不具有唯一性？
连续时间系统时域分析（关注线性时不变系统）
一般信号分析方法
找到一般信号与基本信号关系，用基本信号分析结果结合关系反映一般信号分析结果
原理
绝大多数信号可以被分解为指数信号与正弦信号的线性组合
引出
傅里叶变换与laplace变换的分析方法
基于系统的线性与时不变性，将一般信号分解为基本信号及其延时的线性组合，通过求解基本信号的的响应得到一般信号的响应
常系数线性微分方程
地位
线性系统的一般数学模型
建立
元件特性约束
网络拓扑约束
KVL
KCL
网络结构决定的C、V约束关系
解法
时域经典法
完全响应
子主题 3
零状态响应
只考虑外加激励源
零输入响应
只考虑起始状态等效激励源
子主题 2
自由响应
强迫响应
特解
子主题 3
暂态响应
随时间趋于0
稳态响应
概要
常见特解形式与信号表
概念
齐次方程
特征方程
特征根
单根
复根
齐次解
子主题 1
自由响应
特解
根据激励形式确定特解形式
强迫响应
完全解
响应区间
起始状态
等效为激励源
瞬时的冲激
长久的阶跃
初始条件
跳变
对应冲激信号，引入初始状态与起始状态进行处理
概要
流程图
零输入响应与零状态响应
激励
储能元件储能
激励信号
线性
卷积法求解零状态响应
避开求解高阶响应函数初始状态
由于电路结构变化，可能也存在跳变（电感短路
一般情况下，初始条件即为起始条件
单位冲激响应
表示
h（他）
机理分析
激励
δ(t)
t=0以外不存在激励
只有由冲激引入的能量储存作用
系统
t>0,此时无激励
响应
对于常微分方程，分区间连续信号具有分区间连续的响应
区间顺延，初始条件将累积
激励源为系统储能，必然发生 跳变
将冲激信号源等效为非零的初始条件
响应形式必与零输入响应相同（齐次解）
计算
一般性系统模型
常微分方程求解的一般方法
一般性分析方法
冲激函数匹配法
将最高项列成各阶冲激函数（包含阶跃）之和的形式
先求初始条件再求t>0时的等价零输入响应
奇异函数平衡法
特征方程
齐次解形式
各奇异信号系数对应相等
齐次解形式一步求出
利用系统是线性及时不变性
求求得关于δ（t)的响应后得到冲击偶的响应
冲击响应表
单位阶跃响应
含特解
单位冲击响应
信号的时间轴分解
目标
将一般信号通过冲激信号的线性组合来表示
信号的矩形分解
卷积（Convolution）及其性质和计算
卷积（卷积积分）的定义
卷积运算的表示
作用
处理激励
其零状态响应
性质
代数性质
分配率
系统意义
交换律
证明
系统意义
结合律
证明
系统意义
微分积分性质
微分性质
积分性质
冲激函数的卷积特性
计算
概念
基于单位冲击响应的系统特性分析
LTI系统的因果性
充要条件
LTI系统的稳定性
充要条件
应用
两部分分别满足线性
连续时间信号实频域分析
概念
傅里叶级数
傅里叶变换
按幅度轴分解
欧拉公式
频谱密度
均方误差函数
误差e(t)
相关系数k
正交函数
正交分解
正交函数集
完备正交函数集
定义一
无限元素，误差趋于0
定义二
元素集完备
帕塞瓦尔定理
dirichlet条件
间断点个数有限
极值数目有限
绝对可积
频谱
幅度（频）谱
Cn（nw)
相位（频）谱
φn（nw）
复（数）频谱
复数频谱的幅度谱
复数幅度
相位谱
复数幅角
离散型
谐波性
收敛性
函数正交概念
三角函数的傅里叶级数
信号的正交分解
相关系数与正交函数
相关系数
推导
说明
正交函数
信号的正交分解
正交函数集
性质
推导
正交函数集元素为复变函数时
完备正交函数集
定义
帕塞瓦尔定理
推导
基于信号自身的正交分解
直流分量和交流分量
奇分量与偶分量
周期信号基于e^jwt的正交分解——傅里叶级数
三角函数形式傅里叶级数
条件
计算
a0
an
bn
说明
信号的频谱
推导
幅度频谱
相位频谱
特性
离散性、谐波性、收敛性
幅度谱和相位谱合起来构成周期信号的频谱函数，简称频谱
指数函数形式傅里叶级数
推导
复数频谱
说明
指数函数形式与三角函数形式傅里叶级数的关系
实例
三角函数形式傅里叶级数
指数函数形式傅里叶级数
频谱对比
函数的对称性与傅里叶级数
三角函数形式傅里叶级数
基础
奇函数
偶函数
奇谐函数
特性
傅里叶级数致函奇次谐波
傅里叶级数不含偶次谐波
傅里叶级数不含直流分量
偶谐函数
特性
不含奇次谐波
只含偶次谐波与直流分量
非周期信号基于三角函数的正交分解
指数函数形式傅里叶变换
分析
机理分析
数学分析
定义
对于非周期信号，将其频谱密度函数称为其傅里叶变换
三角函数形式傅里叶变换
基本思路
傅里叶变换存在的条件
基本信号的傅里叶变换
矩形脉冲信号
傅里叶变换
幅频特性
相频特性
单边指数信号
傅里叶变换
幅频特性
相频特性
双边指数信号
傅里叶变换
幅频特性
相频特性
符号函数
傅里叶变换
幅频特性
相频特性
冲激信号
阶跃信号
傅里叶变换
概念
频谱密度函数（频谱函数
均匀谱（白色谱
常用的傅里叶变换
阶跃
直流
1/t
t^n
说明
傅里叶变换的性质
基于傅里叶变换定义的性质
对称性
奇偶虚实性
基于信号时间变量运算的性质
反褶性质
时移性质
压扩性质
时间运算总和性质
基于信号幅度变量运算的性质
线性性质
时域微分
时域积分
基于信号频域运算的性质
频移特性
频域微分
拓展
基于卷积运算的性质
时域卷积定理
推导
时域卷积定理与时域微分性质的关系
频域卷积定理
推导
概念
频域微分算子-jt
时域微分算子jw
周期函数的傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换关系
机理分析
数学分析‘
周期信号傅里叶变换
典型周期信号的傅里叶变换
正弦/余弦信号
推导
说明
周期冲激信号
推导
周期矩形脉冲
推导
基于卷积关系的周期信号傅里叶变换
说明
时域抽样定理
抽样
抽样信号及其频谱
图示
数学分析
矩形脉冲抽样
推导
图示
理想冲激抽样
推导
图示
信号带宽
有限带宽
图示
3dB带宽
图示
零点带宽
图示
等效带宽
图示
说明
抽样定理
机理分析
抽样信号的恢复
恢复
图示
解析表达（理想冲激抽样）
说明
概念
频带
频谱有值存在的区间
抽样频率
截止频率
带宽
等效脉冲宽度
等效频带宽度
抽样信号
连续时间系统实频域分析
系统频率响应
概念
系统频率响应（系统频响
全通系统（/网络)
定义
特性
输入为正弦信号
输入为指数信号
说明
频率响应特性
系统的相频特性
系统的幅频特性
H(ω)也称为系 统的传递函数
利用频率响应计算系统响应
例子
系统特性的频域分析
基于激励和响应傅里叶变换的H(ω)|的形式
LTI系统的一般方程
利用频率响应计算系统响应
思路
说明
无失真传输系统
失真
是指系统输出与输入之间的差别
输出信号的在整体上的幅度改变例如声音音量大小 并不产生失真的感受
激励和响应出现的时间并不产生失真感受
无失真传输系统
若系统的输出响应能够再现系统的输入信号，而仅仅是 出现时刻和幅度的不同，没有改变激励信号的波形形状， 则称系统为无失真传输系统。
无失真传输系统的时域表示
无失真传输系统的频域表示
e=δ(t)时
e(t)=正弦信号时
幅度失真
当|H(ω1)| ≠|H(ω2)| 时，对于不同的频率分量产生了不 同的幅度加权，则称之为幅度失真。
相位失真
群时延
定义
系统相频特性对频率的负导数
说明
对于无失真传输系统而言，群延时的物理意义为输入信 号的延时时间。
存在相位失真而幅度不失真的系统，称至为全通系统 或全通网络。
低通滤波器
滤波器及分类
滤波效果
任何系统都是一种滤波器
滤波器基于频段的分类
理想低通滤波器
理想低通滤波器的频率响应
时域分析
对单位冲激函数的响应
图示
数学式
说明
对单位阶跃函数的响应
推导
说明
波形不是垂直上升，而是需要一段时间
对矩形脉冲的响应
推导
数学式
说明
吉布斯现象
概念
正弦积分函数
理想高通滤波器
理想带通滤波器
理想带阻滤波器
说明
系统的因果性
因果性
佩利-维纳准则
关注幅频特性
说明
希尔伯特变换
推导
数学式
说明
概念
希尔伯特变换对
相关函数<7-1
需求
定义
对于能量有限信号
能量有限信号
其中f*(t)为f(t)的共轭复数，当f(t)为实数时 ， f*(t)=f(t)
自相关函数定义
对于功率有限信号
自相关
与卷积关系
对于实能量信号
相关定理
自相关
激励与相应的谱关系<7-2
能量谱与功率谱
引入
能量谱/能量频谱（能量谱密度函数
功率谱（概率频谱密度函数
实功率信号
说明
平均功率P
R(τ)为功率信号的自相关函数
维纳欣钦定理
物理意义
在频域上积分得到平均功率
物理意义
去掉相位，也就去掉了时移量
LTI系统激励与相应的谱关系
推导
激励与响应的谱关系
激励与相应的能量谱关系
激励与响应的功率谱关系
从自相关函数的角度
物理意义
去除相位（时间）信息
实用性抽样系统的分析模型<7-2
原理
图解
说明
当ωs≥ 2ωm时，其中ωm表示被抽样信号带宽，则可通过低通滤波器H(ω)从fs(t)恢复f(t)
一般方程
零阶保持抽样
图解
一阶保持抽样
图解
h1(t)
H1(w)
符号
1r下标
原信号恢复方法
幅度调制与解调<7-2
意义
信号的有效传播
减小衰减
调制到更高频段减小噪声
频率资源的有效利用
结合滤波器选取频段
信号干扰
定义
调制
调制是指通过特定信号的某种特性按照所需传输信号的变化规律变化
该特定信号称为载波
所需传输的信号称为调制波
载波为余弦信号时的分类
当载波为余弦信号，而通过余弦信号的幅度、频谱或相 位等变化来体现调制波变化规律，则相应地称为幅度、 频率或相位调制，简称为调幅、调频或调相。
解调
解调是调制的逆过程，将需传输的信号从接收到的信号中提取出来。
幅度调制原理
图解
调幅解调原理
图解
解释一
解释
解释二
G(w)频谱
频分复用
图解
物理意义
不同信号在同一信道中传输，
系统频域分析的示例<7-2
连续时间信号与系统复频域分析
引入
傅里叶变换的局域性
知识结构
laplace变换
拉普拉斯正变换、收敛域、逆变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
利用laplace变换求解连续时间系统响应
利用拉普拉斯变换求解微分方程
S域原件模型
S域系统分析
系统函数
系统零极点分布与系统的特性
重点
• 拉普拉斯变换定义、性质
• S域系统特性的分析
基于est 的信号的复指数函数正交分解——拉普拉斯变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
laplace变换对
laplace变换
推导
laplace逆变换
对于因果信号
推导
注意
laplace变换的收敛域（ROC，Region of convergence)
引入
右边信号
左边信号
双边信号
注意
有限区域内的信号
注意
只有laplace变换与收敛域都相同，f(t)才相同
laplace变换的物理意义
f(t)=
物理意义
LT： f(t)被分解为无穷多个变幅振荡的余弦信号cos(ωt+θ)之和
基本信号的laplace变换
指数信号
推导
阶跃信号
推导
冲激信号
推导
正弦信号
laplace变换的性质
基于信号时间运算的性质
时移性质
压扩性质
a>0
推导
对于双边信号
时间运算综合特性
对于单边laplace变换
对于双边laplace变换
基于信号幅度运算的性质
线性性质
对于双边laplace变换
时域微分
对于双边laplace变换
时域积分
对于双边LT
基于信号s域运算的性质
s域平移
对于双边LT
s域微分
对于双边LT
s域积分
对于双边LT
基于卷积运算的性质
时域卷积i定理
对于双边LT
s域卷积定理
对于双边LT
初值定理
终值定理
LT的应用
应将u(t)与 sin(ω0t)或者t结合，以因果信号的形式出 现，或者直接以 u(t)为基本信号出现，这样其它信 号是作为基本信号拉普拉斯变换s域的运算符的角色 出现。
分析方法
基于信号变化过程
基于信号组合
利用微分特性
laplace逆变换
单边逆变换
求解方法
部分分式法
使用条件
分式（可以为假、可以含衰减因子
单阶实数极点
单阶共轭复数极点
重根极点
特殊情况
F(s)不是真分式
F(s)含 0 st e
留数法
使用条件
真分式以满足约当引理
与傅里叶变换的关系
Re[s] = 0
一阶虚极点
F(s)只有一个多阶虚轴极点
多个高阶虚极点
双边逆变换
利用拉普拉斯变换求解连续时间系统响应
由LTI连续时间系统的一般性方程
系统完全响应的LT
系统零状态响应的LT
系统零输入响应的LT
s域元器件
由系统函数分析系统稳定性
必要条件
由分式阶数
由极点分布
由分母式
充要条件
劳斯准则
复频域与实频域相结合的系统特性分析
全通系统
特性
通过全部频率的信号
零极点数目相同且对称分布
最小相移系统
一般系统基于全通系统与最小相移系统的分解
离散时间信号与系统时域分析
（离散信号）离散时间序列
描述
定义
连续时间信号的抽样
一组数字序列值的集合
描述方法
解析式形式
序列形式
图形表示
常见的基本序列
单位样值序列
单位阶跃序列
矩形序列
单边指数序列
正弦序列
模拟角频率
数字角频率
复指数序列
基本运算
时间运算
序列反褶
序列移位
信号压扩
波形扩展时补入0
波形压缩时去掉余项
序列的几何运算
序列相加减
序列相乘除
序列的能量
离散时间系统
描述
定义
输入与输出都是离散信号的系统
一种变换或关系，将输入序列映射为输出序列
描述方式
数学模型
差分方程
注意
描述不同时间点出现的序列的运算
定义
子主题 1
差分方程的阶
子主题 1
一般差分方程
后向差分方程
因果系统分析
数字滤波器
前向差分
状态变量分析
功能框图
运算单元/功能部件（线性离散时间系统）
延时器
加法器
标量乘法器
分类
（无）有记忆系统
无记忆
输出只决定于同时刻的输入（不前向，不后向）
（非）线性系统
线性：满足叠加原理
叠加性
比例性
时（不）变系统
（非）因果系统
（不）稳定系统
当且仅当每一个有界的输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统为稳定系统
常系数线性差分方程求解
齐次解
列特征方程(n阶）
单重根
C*λ^n
k重根
C1*n^(k-1)*λ^n+C2*n^(k-2)*λ^n+……+Ck*λ^n
特解
零状态响应与零输入响应
零输入响应
定义
系统输入为0 时，由系统初始储能引起的系统响应
通常将激励加入系统的时刻作为0
为将激励输入置0时，起始条件从激励加入系统的时间考虑
解法（以激励加入时间为0时刻）
求系统的起始条件
y(-N)
用递推关系排除输入信号的影响
由系统的差分方程得到特征方程，求得特征根，系统的零输入响应形式即为其次解形式
将起始条件带入到零输入响应形式当中，求解未知系数
零状态响应
定义
系统起始状态为零，仅有外加激励产生的系统响应
解法
确定特解形式，并代入方程以确定系数
由特征方程求得其次解形式
由零状态的起始条件带入差分方程通过迭代关系得到零状态的初始条件
合并得到零状态响应形式，带入零状态初始条件确定系数
拓展
差分方程完全响应的分离角度
齐次解（自由响应）与特解（强迫响应
零状态响应与零输入响应
差分方程的边界条件是系统真正的起始状态
差分方程的边界条件是系统零状态时的初始条件
系统的单位样值响应
单位样值响应
定义
δ(n) 激励系统产生的零状态响应被称为该系统单位样值响应，通常用h(n)表示。
作为系统特性的判据
因果性
充要条件
稳定性
充要条件
求解
一般形式
卷积和（离散卷积)
定义
性质
交换律、分配率、结合律
移不变性
常用
与δ（n)卷积
与u（n)卷积
计算
解析法
图形法
竖乘法
离散时间系统卷积和分析法
需要指出，不论哪种解法，其目标都是揭示激励后（或n>=n0）的系统响应情况
离散时间信号与系统变换域分析
z变换
z变换
定义
双边
单边，注意定义中得到时刻关系
引出
由理想抽样的laplace变化引出
意义
引入laplace变换与z变换进行对应
收敛域
定义
对任意给定的序列x(n)，使得幂级数收敛的z的所有取值称为X(z)的收敛域或ROC
形状
圆形、环形
z=e^(σ+jw) = r*e^jw
序列分类
无限长度序列
n>=0
|z|>|a|
n<0
|z|<|b|
双边序列
环状
有限长度序列
n>=0
z不等于0
n<0
z不等于无穷
过0点
z不等于0或无穷
s域与z域关系
考虑σ
σ=0
s平面虚轴对应z域单位圆
σ>0
s域右边平面对应z域单位圆外
σ<0
s域左边平面对应单位圆内
考虑w
w=0
s平面实轴对应z平面正实轴
w=j*kπ，k为奇数
s平面负实轴对应z域负实轴
以2π为周期绕圆旋转
判据
达兰克尔判别法
概要
典型序列的z变换
单位样值序列
1
单位阶跃序列
z/(z-1)
因果指数序列
z/(z-a）
性质
基于运算的性质
时间运算
反褶性质(双边ZT可用)
X(z)
ROC
扩展性质（双边zT可用)
X(z)
ROC
位移性质
X(z)
ROC
单边变换
双边
幅度运算
仅线性运算
X(z)
ROC
基于z域运算的性质
z域压扩
z域微分
基于卷积的性质
z域卷积
时域卷积
基于z变换定义的性质
初值定理
x(n)是因果序列
终值定理
条件
序列存在确定性终止，即序列随n收敛
序列极点位于单位元内或一阶极点落在z=+1的单位元上
逆z变换
幂级数系数
只要把给定的X(z)展开成幂级数形式，则幂级数的系数就 是相应的 x(n)
使用条件
单极点有限序列
部分因式分解法
将z变换分解为基本序列z变换的组合，则逆z变换等于响应的基本序列的组合
运算
初步变形（离散信号z变换的一般形式）
对X(z)/z进行部分分式分解，再乘z，得到基本形式的分解形式
考虑实数因子，注意重根的运算
分解后，对应不同收敛域有不同的序列解
左边:极点被收敛域包围
右边：极点包围收敛域
双边：收敛域为换代装
条件
分式中分母的阶次应高于分子的阶次
围线积分法
原理
留数定理
指数函数的正交性
运算
将0、1、2……依次带入n中，运用留数定理解算即可得到x（n）
条件
汇总
利用z变换求解离散时间系统响应
利用z变换求解常系数线性差分方程的一般步骤
对差分方程两边进行z变换
求解在z域进行运算：将系统的起始条件包含在响应的z变换中/直接求解系统的全响应
求逆z变换，得到相应的响应
z变换求解差分方程
离散时间系统差分方程一般形式
将激励加入时间设为0时刻
双零法求解差分方程
直接求解差分方程
使用条件
差分方程为常系数线性差分方程
离散系统函数H(z)
离散系统函数的定义
系统单位样值响应的z变换
离散系统函数的计算
从系统响应角度出发，系统函数等于系统零状态响应的z 变换与激励的z变换的比值
形式1，由单位样值响应的因果性与h（n)的因果性得到
形式2，注意下标从1开始
仅有一阶极点
一般情况
条件：h(n)为因果序列
h(n)为左边序列时，表中关于单位圆内外的情况相反
最简离散系统框图
原理
其他分解形式
作用
N阶差分方程仅需要N个延时器便能组成系统框图
离散系统的因果性与稳定性
原理
从变化域观察离散系统函数特性，发现其与系统的因果性与稳定性的联系
稳定性的z域体现
原理
判据
对因果系统与非因果系统均适用
对因果系统，系统稳定的条件是极点在单位圆内
因果性的z域体现
原理
判据
运算
时域法
z域法
进行双边z变换，再利用上述判据进行判断
已知系统因果，可以只进行单边z变换
如果系统是因果稳定系统， 极点均位于单位圆内
序列的傅里叶变换
定义
计算
称为序列x(n)的傅里叶变换，即单位圆上的 z变换为序列 的傅里叶变换。
逆变换
作用
特性
序列存在傅里叶变换的条件
序列存在傅里叶变换的充分条件是绝对可和
离散系统的频率响应
离散时间系统的频率响应
定义
h(n) 的傅里叶变换
存在条件
作用
z域系统分析
离散时间系统的系统函数
形式
从时域出发
从系统响应角度出发
由差分方程的一般形式
注意求和下标
离散时间系统的稳定性与因果性
离散时间系统因果性判据
离散时间系统稳定性判据
对因果系统与非因果系统均适用
对因果系统，系统稳定的条件是极点在单位圆内
序列的傅里叶变换
离散时间系统的频率响应
利用离散时间系统实现对模拟信号的滤波
*大作业
试验一：连续时间系统卷积的数值计算
试验原理
要求
结合图示说明原理
试验指导书原理
目标函数解析
分别绘图
绘最终的卷积函数图
程序说明
画出试验流程图
使用wps画出流程图
列表展示试验结果
使用Excel表现结果
用C语言画出卷积积分的曲线
调整边框大小
离散输出
试验内容
公式
程序
f(t)对应函数
单输入
bool值输出
数组记录
h(t)对应函数
单输入
float输出
数组记录
反转函数
调用h(t)对应函数，输入t，τ
输出h(t-τ)
卷积函数
调用TXT文件函数
调用f(t)函数
调用反转函数
结果储存与float数组中
离散化函数
*10再四舍五入取整
输出函数
三个图像输出
竖轴为t，’|‘表示
横轴为函数值，’-‘表示
if判断：在数轴上若有取值则不显示显示数轴表示符
函数取值点由*表示
选定三个数轴位置的基准值
先f1，再h，再卷积
预留负向区域5个单位
每行先输出函数取值点，再输出数轴标识符
一个输出子函数
for循环，数组bool判断，数轴基准值判断
print函数实现
横轴分度0.1
纵轴分度0.1
输入函数
输入边界条件
x1,y1
x2,y2
边界条件生成
x3=x1+x2
y3=y1+y2
main()
输入函数
卷积函数
输出函数
试验报告
实验三 连续时间系统的频率响应
试验目的
1．加深对连续时间系统频率响应理解；
2．掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法
试验原理
试验内容
要求
1．画出试验系统的零极点图；
2．画出程序的流程图；
3．所得幅频和相频特性结果用表格列出；
4．画出相应的幅频和相频特性曲线；
5．对于带通滤波器，在幅频曲线上标出 3dB 带宽的起始频点和结束频点；对于低通或高通滤波器，在幅频曲线上标出 3dB 带宽的截止或开始的频率。
设计
变量池
1*50的const float数组记录x的取值区间
4*10的float数组记录零点与极点，
2*50 的float数组记录幅频值与相频值
1*20的float数组记录幅频值计算的中间数据
1*20的float数组记录相频值计算的中间数据
标记
利用特性曲线的有界性来标记-3dB点
MAX=100000 与MIN= -100000形成标记
零极点数量上限10
main（）
循环进入试验，
每次试验前指示命令符与退出符
刷新函数
刷新变量池
模块设计
零极点输入模块
零点输入函数
极点输入函数
幅频值生成模块
两点间距离生成函数
输入4个float数据
输出一个float数据表示距离
幅频值生成函数
输入零点数量n，对应n*2坐标值；极点数量m，对应m*2坐标值
调用两点间距离生成函数，中间数据使用float数组记录
输出一个float数据表示幅频值
相频值生成模块
两点间连线角度生成函数
输入4个float数据作为两点的坐标
输出一个float数据作为角度
相频值生成模块
子主题 1
-3dB带宽计算
最高点识别函数
遍历特性值，识别最高点并记录对项数
输出最高值
-3dB点识别函数
输入最高点数据
遍历特性值，识别-3dB点，标记为‘o’
标记函数
显示模块
使用第一次试验的显示函数
实验五 离散时间系统特性分析
试验目的
1．深入理解单位样值响应，离散系统的频率响应的概念；
2．掌握通过计算机进行求得离散系统的单位样值响应，以及离散系统的频率响应的方法。
试验原理
本实验首先给出描述系统的差分方程，通过迭代的方法求得系统的单位样值响应，进而求得该离散系统的频率响应。
1．在给定系统方程的条件下，选取激励信号为 n ，系统的起始状态为零 状态，通过迭代法，求得系统的单位样值响应h n （n=0,…,N）。
利用公式，取值范围为0 2π 。计算系统的频率响应。
试验内容
要求
1．画出程序的流程图；
2．将计算所得结果列于表格中；
3．画出系统的幅频特性和相频特性曲线，并说明离散系统频谱的特点；
4．说明系统的滤波特性。
内容
已知系统的差分方程为 ~利用迭代法求得系统的单位样值响应，取 N＝10。
利用公式， 的取值范围为0 2 π。计算系统的频率响应，计算时 Ω 的步长为 0.1π。
设计
变量池
1*N的h_float数组记录h(n)的取值
宏定义N代表h(n)的目标取值数量
1*2N的float数组x_记录x(n)
1*M的 float数组y_记录y（n），y（n-1)，y（n-M）
宏定义M代表差分方程的阶数
1*W_N的float数组w_记录w的取值区间
宏定义W_N代表对于2π的划分数量
宏定义pi
2*2W_N的float数组H_[]记录系统的频率响应，0行记录实部，1行记录虚部
1*W_N的float数组A_[]记录系统的幅频特性值
1*W_N的float数组fi_[]记录系统的相频特性值
main（）
初始化w_，x_
模块调动
清空数组
模块设计
单位样值响应计算模块void h_cal()
y_(i)记录y（n-i）
使用for循环，重复调用y_()与x_(）
频率响应生成模块void H_()
实部计算
使用for循环，调用w_(i)，for循环计算h(n)*cos(w_(i))并求和
虚部计算
使用for循环，调用w_(i)，for循环计算h(n)*sin(w_(i))并求和
幅频值生成模块void A_[]
for循环，H_(n)求模
相频值生成模块 void fi_[]
for循环，调用函数归一到-pi到pi得到fi
子函数float ang_cal(float r,flaot i)
调用actan()，使用r，i来进行归一化
显示函数void display()
输出w_[]（翻译为pi）
输出A_[]
输出fi_[]
*杂论
信号
描述方式
运算规则
相互关系
信号的分解
系统
描述方式
组合规则
特性
相关技能
系统分析
定义
结合系统，对输入求输出
系统设计
定义
结合输入与输出，求系统
系统的分析方法
建立系统模型方面
输入-输出描述法
经典法解常系数线性微分方程或差分方程
状态变量描述法
IO，及系统内各变量的情况
求解矩阵方程
数学模型的求解
时间域方法
卷及方法
变换域方法
变时间域为其他域
傅里叶变换
laplace变换
关系运算
集合运算
并
交
差
选择运算
投影关系
连接关系
除法运算
定义
笛卡尔积的逆运算
模拟信号
抽样信号
数字信号
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