立体的投影思维导图_编号w8736127-TreeMind树图

思维导图大纲

第五章立体的投影思维导图模板大纲

5.1 基本体的投影及其表面上的点

平面立体

棱柱棱柱是最常见的平面立体，由两个互相平行的顶面及底面（为两全等的多边形）和若干个侧面（为平行四边形）组成。若顶面及底面均为正多边形，且互相平行的侧面楼线垂直于顶面及底面时，称为正棱柱。

棱柱的投影

正六棱柱其顶面和底面为平行于水平投影面的正六边形，六个棱面均垂直于顶面和底面

正六棱柱三面投影特点：1）水平投影。反映顶面和底面的实形，顶面和底面的投影重合，六个棱面的投影积聚成直线且与底面的对应边重合。 2）正面投影。顶面和底面的正面投影积聚为直线；前后棱面平行于正投影面，其正面投影反映实形；其他四个侧棱面均与正投影面倾斜，其正面投影为类似形。 3）侧面投影。顶面、底面和前后棱面的侧面投影均具有积聚性，其他四个棱面的侧面投影为类似形，且两两重合。

棱柱表面上取点

在棱柱（平面立体）表面上取点，其原理和方法与前面介绍的在平面上取点相同。首先要根据点的投影位置和可见性，确定点在哪个面上，对于特殊位置平面上点的投影，可以利用平面的积聚性求出，对于一般位置平面上的点，则须用辅助线的方法求出。立体表面上点的投影的可见性，由点所在表面投影的可见性来决定。

棱锥棱锥的表面是棱面和底面，所有的侧棱都交于一点（顶点）。用底面多边形的边数来区别不同的棱锥，如底面为四边形，则称为四棱锥。当直棱锥的底面为正多边形时，称为正棱锥。

棱锥的投影

正三校锥的底面ABC是水平面，棱面SAB、SBC为一般位置平面，棱面SAC为侧垂面。

正三棱锥三面投影特点：1) 正面投影。棱面SAB、SBC、SAC与正投影面均倾斜，投影为类似形，底面ABC的正面按影积聚为一条直线，作锥顶S和底面各顶点A、B、C的正面投影，分别连接即可得出正三棱锥的正面投影。 2）水平投影。底面平行于水平投影面，其投影反映实形，三个棱面都与水平投影面倾斜，在该投影面上的投影均为类似形。 3）侧面投影。底面和棱面SAC垂直于侧立投影面，其投影积聚为直线，棱面SAB、SBC倾斜于侧立投影面，其投影为类似形，且完全重合。

棱锥表面上取点

在棱锥表面上取点，作图方法与棱柱表面上取点相同。在作棱面上的点时，要注意充分利用棱锥的形状及投影特点。

曲面立体

圆柱圆柱体（简称为圆柱）的表面是圆柱面及顶圆面、底圆面。圆柱面是由一段直母的绕与它平行的轴线回转而形成的，圆柱面上的素线都是平行于轴线的直线。

圆柱的投影

该圆柱的水平投影积聚为一圆，它既是整个圆柱面的积聚性投影又是顶圆面和底圆面的实形投影。圆柱的正面投影和侧面投影为相同形状的矩形，矩别上、下两边的长度等于顶圆面和底圆面的直径，是圆柱顶圆面和底圆面的积聚性投影。

圆柱三面投影特点：1）正面投影。正面投影（矩形）的左右两边，是前半和后半圆柱面的左右分界线的投影，也是前后半圆柱面转向轮廊线的投影。以正面转向轮廓线为界，圆柱的前半部分可见，后半部分不可见。位于后半圆柱面上的点，在正面投影图上都不可见。 2）水平投影。圆柱面的投影积聚为一个圆。 3）侧面投影。侧面投影（矩形）的前后两边，是左半和右半圆柱面的前后分界线的投影，也是左右半圆柱面转向轮廓线的投影。以侧面转向轮廓线为界，圆柱的左半部分可见，右半部分不可见。位于圆柱面上右半部分的点，在侧面投影图上都不可见。

圆柱面上取点

在圆柱表面上取点，基本方法是利用圆柱面的积聚性来作图。如果给定圆柱表面上点的一面投影，可先在有积聚性的那个投影图上求出它的另一面投影，再根据点的投影规律求出其他投影。

圆锥圆锥体（简称为圆锥）的表面是圆锥面和底面。圆锥面是由直母线绕与它相交的轴线回转而形成的，直母线与轴线的交点是圆锥面的顶点。圆锥面的素线都是通过锥顶的直线，母线上任一点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆。

圆锥的投影

圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性。圆锥三面投影特点：1）正面投影。以转向轮廓线SA、SC为界，圆锥的前半部分可见，后半部分不可见位于圆锥面上后半部分的点，在正面投影图上都不可见。 2）水平投影。圆锥的水平投影为一个圆，圆的中心线的交点为圆锥顶点的投影位置。圆锥面上的所有素线交于顶点，而下端位于底面圆周上。 3）侧面投影。以转向轮廓线SB、SD为界，圆锥的左半部分可见，右半部分不可见位于圆锥面上右半部分的点，在侧面投影图上都不可见。

圆锥面上取点

圆锥面上取点的作图原理与在平面上取点的作图原理基本相同由于圆锥面的各个投影都不具有积聚性，因此，取点时必须先在圆锥面上过点的一个知投影作辅助线，而点的其余投影必在辅助线的同面投影上。在圆锥面上可以作两种单易画的辅助线，一种是过锥顶的素线，另一种是垂直于轴线的纬圆。

圆球圆球由圆球面所围成。以圆为母线，圆心在轴线上，绕轴线回转所得到的回转面为圆球面。

圆球的投影

圆球的三面投影都是与圆球直径相等的圆，它们分别是该球面三个转向轮廊线的投影。正面转向轮廓线是球面上平行于V面的最大圆，它是前后半球面的分界线；水平转向轮廓线是球面上平行于日面的最大圆，它是上下半球面的分界线；侧面转向轮廓线是球面上平行于面的最大圆，它是左右半球面的分界线。

圆球三面投影的特点：1）正面投影。以正面转向轮廓线为界，球的前半部分可见，后半部分不可见。位于球的后半部分的点，在正面投影图上都不可见。 2）水平投影。以水平转向轮廓线为界，球的上半部分可见，下半部分不可见。位于球的下半部分的点，在水平投影图上都不可见。 3）侧面投影。以侧面转向轮廓线为界，球的左半部分可见，右半部分不可见。位于球的右半部分的点，在侧面投影图上都不可见。

圆球表面取点

在圆球面上取点时，只能采用圆或圆弧作为辅助线。其方法是：过已知点在球面上作辅助圆，值得注意的是，过已知点可在球面上作三个不同方向的辅助圆（它们分别平行于V面、H面W面），再利用线上取点的作图要求和点的投影规律，求作该点的其他投影。

圆环圆环的表面是圆环面。圆环面是由圆母线绕不过母线圆心，但与母线在同一平面上的轴线回转而形成的。远离轴线的半圆母线回转形成外环面，靠近轴线的半圆母线回转形成内环面。

圆环的投影

圆环的正面投影中，左右两个圆是圆环面最左、最右两个素线圆的投影；上、下两条公切线是最高和最低两个圆的投影，它们都是对正面的转向轮廓线的投影；左右两实线半圆和上下公切线形成的线框，是外环面的投影；左右两细虚线半圆和上下公切线形成的线框，是内环面的投影。

圆环表面取点

通常利用辅助纬圆法。先作指定点所在纬圆的三面投影，再根据线上取点的方法，求出指定点的三面投影。

5.2 立体表面的交线

截交线

性质：（1）共有性截交线是截平面和立体表面的共有线，是截平面和立体表面共有点的集合。（2）封闭性截交线一般是由直线或曲线围成的封闭的平面图形。

平面与平面立体相交

平面与平面立体相交，其截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的每一条边也是截平面与平面立体一个表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体的棱线的交点。因此，求平面立体截交线的投影，可归结为求截平面与立体各表面的交线，或截平面与立体上棱线的交点，作每一段交线或每一交点的投影，并判断可见性，然后再依次连线，即可得截交线的投影。

平面与回转体相交截交线是一条封闭的平面曲线，或由平面曲线和直线或完全由直线所组成的平面图形。求回转体截交线投影的一般步骤是：首先根据截平面与回转面的相对位置，分析截交线的形状及其在投影面上的投影特点，然后求共有点，最后判断可见性，依次光滑连接各点的同面投影，并补全回转面轮廓线的投影。共有点分特殊点和一般点。求共有点时，先求特殊点（转向轮廓线与截平面的交点、最高、最低、最前、最后、最左、最右点和椭圆长短轴的端点等），以确定截交线的范围，然后求一般点。

平面与圆柱相交

平面圆柱相交当特殊位置平面与圆柱相交时，截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线的性质也不同。截平面与圆柱轴线平行、垂直、倾斜，所产生的截交线分别是矩形、圆、椭圆。

平面与圆锥相交

平面与圆锥相交当平面与圆锥相交时，截平面与圆锥轴线或素线的相对位置不同，其截交线的性质形状也不同。设圆锥的素线与圆锥轴线的夹角为α（半锥角），截平面与圆锥轴线的夹角为β，圆锥截交线有五种情形。

平面与圆球相交

平面与圆球相交平面与圆球相交的截交线只有一种形状—圆。当截平面为投影面平行面时，截交线在该投影面上的投影是圆。当截平面为投影面垂直面时，截交线圆与投影面不平行，投影是椭圆。

相贯线

平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；曲面立体与曲面立体相交

相贯线基本特征

1）相贯线是两相交回转体表面的共有线，相贯线上的点是两相交回转体表面的共有点；相贯线同时又是两相交回转体表面的分界线。 2）两相交回转体表面的相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下可以是平面曲线或直线，而且不一定是封闭的。相贯线的形状取决于相交回转体的几何形状、尺寸大小和相对位置。

求相贯线方法

表面取点法、辅助平面法、辅助球面法