曲线积分与曲面积分脑图思维导图
曲面与曲线积分的分类和性质与算法
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思维导图大纲
曲线积分与曲面积分思维导图模板大纲
第一类曲线积分
定义
对弧长的曲线积分的说明
定义中和式的极限与曲线弧的分法及点的取法无关.
存在条件：当f(x,y)在光滑曲线 L 上连续时， 对弧长的曲线积分是存在的.
如果 L 是闭曲线 , 则记为
对于空间曲线弧则定义对弧长的曲线
性质
线性性质
可加性
无方向性
不等式性质
计算
基本思路
求曲线积分转化为计算定积分
一代，二换，三定限
注意
定积分的下限一定小于上限
利用曲线方程简化为被积函数，利用对称性简化计算
第一类曲面积分
概念
函数f(x,y,z)在曲面上的第一类曲面积分记作
性质
积分的存在性
若f(x,y,z)在光滑曲面上连续，则对面积的曲面积分存在.
对积分域的可加性
若曲面是分片光滑的，例如分成两个光滑曲面，则有
线性性质
设k1,k2为常数，则
计算法
基本思路
求曲面积分转化为计算二重积分
公式
计算步骤
1、写出曲面的方程
2、找出投影区域
3、写出面积元素
4、代入公式
第二类曲线积分
概念
分割、近似、求和、取极限
性质
线性性质
方向性
可加性
存在条件
当被积函数在光滑曲线L上连续时，对坐标的曲线积分是存在的
计算法
基本思路
求曲线积分转化为计算定积分
下限对应L的起点，上限对应L的终点
高斯公式与散度
应用
计算曲面积分
第二类曲面积分
有向曲面
取定了法向量的曲面（也即选定了曲面的侧）称为有向曲面
方向表示
定义
性质
可加性
方向性
线性性质
格林公式
平面单连通与复联通区域
若D内任意一条闭曲线所围的部分都属于D ， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
定理
设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数P(x,y),Q(x,y),在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
推论
正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
斯托克斯公式与旋度
两类曲线积分的联系思维导图模板大纲
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