线性代数思维脑图思维导图
相似矩阵，矩阵列式，方程组理论等内容讲解
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思维导图大纲
线性代数思维导图模板大纲
矩阵与行列式
矩阵： 由m*n个数构成的数表
特殊矩阵
行矩阵： 只有一行的矩阵 列矩阵： 只有一列的矩阵
零矩阵： 元素全为零的矩阵
方阵： 行数与列数都相等的矩阵
上(下)三角形矩阵： 主对角线下(上)方元素全部为零的 n 阶方阵
对角阵： 记作diag(λ1,λ2,……λn)
单位矩阵： 主对角线元素全为1的对角阵 数量矩阵: 主对角线的元素全相等的对角阵
对称矩阵： 元素关于主对角线对称的方阵 反对称矩阵： aij=-aji
同型矩阵： 行数相等，列数相等
矩阵相等： 同型矩阵对应元素相等
矩阵的计算
矩阵的线性运算
矩阵乘法
可乘条件： 前列数=后行数
运算规律： 满足结合率与分配率 不满足交换律 非零矩阵乘积可能是零矩阵 不满足消去律
单位矩阵与同阶方阵相乘可换 数量矩阵与同阶方阵相乘可换 同阶对角矩阵相乘可换
方程组用矩阵形式表示：AX=B 线性变换的矩阵表示：y=Ax
方阵的幂
一部分运算律只有在相乘可交换的情况下才成立
矩阵的转置： 行列互换
运算性质： 和的转置等于转置的和 数乘的转置等于转置的数乘 乘积的转置等于装置的逆序乘积 对称矩阵转置等于自身 反对称矩阵转置等于自身数乘-1
方阵的迹： 对角线元素之和
运算性质： 和的迹等于迹的和 数乘的迹等于迹的数乘 转置的迹不变 乘积和逆序乘积的迹相同
矩阵与矩阵转置之积的迹为0，则矩阵为零矩阵
可逆矩阵： 方阵A、B，AB=BA=E，则A，B互为逆矩阵
矩阵可逆的充分必要条件： A必须是方阵 A的行列式不等于0
逆矩阵唯一
可逆矩阵运算性质同转置运算 可逆运算与转置运算、方幂运算顺序可交换 逆矩阵的行列式等于原行列式的倒数
求可逆矩阵
伴随矩阵法
伴随矩阵： A中各元素代数余子式排成方阵的转置
A的逆矩阵等于伴随矩阵数乘行列式的倒数
伴随矩阵行列式等于A行列式的n-1次方 A不可逆时，伴随矩阵也不可逆
初等变换法
A变换到E的同时E变换到B 则B是A的逆矩阵
克莱姆法则： 非齐次线性方程组的解 xm=Dm/D 其中D为系数矩阵的行列式，Dm为用常数项替代D的第m项得到的行列式
使用条件： 系数形成方阵，方程个数等于未知量个数 系数行列式不等于0
定理： 非齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则有唯一解 齐次线性方程组的系数行列式不等于0，则只有0解
分块矩阵
运算性质同一般矩阵
行列式
二阶行列式的几何意义： 平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积 三阶行列式的几何意义： 空间内以行向量所张成的平行六面体的有向体积
排列： 1~n组成的有序数组 排列的逆序数： 排列中逆序的总数
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
对换： 交换两个元素的顺序，其余元素不变
对换改变排列的奇偶性
全部n阶排列中奇偶各占一半
n阶行列式： 等于所有的取自不同行、不同列的n个元素乘积的代数和
行列式性质
行列式与转置行列式相等
互换行列式的两行（列），行列式变号
行列式有两行（列）相同或对应成比例，则为零
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则可以拆成两个行列式之和
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一 列(行)对应的元素上去，行列式不变
行列式按行展开
余子式： 划去第i行、第j列留下的n-1阶行列式 代数余子式： 余子式与(-1)^(i+j)的乘积
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
Laplace展开定理： 设在n阶行列式中取定某k行，则D等于这 k 行的所有 k阶子式与它们各自对应的代数余子式的乘积之和
方阵乘积的行列式等于行列式的乘积
特殊行列式计算
上/下三角行列式： 对角线元素乘积
副对角行列式： （副对角线上元素之积）*(-1)^(n(n-1)/2)
线性方程组理论
初等矩阵与矩阵的秩
矩阵的初等变换： 1、交换某两行/列 2、数乘矩阵的某行/列 3、某行/列的k倍加到另一行/列
矩阵相抵： 矩阵A经过有限次的初等变换变为B
矩阵相抵是等价关系 具有反身性、对称性、传递性
行阶梯形矩阵： 零行全部位于非零行下方 非零行主元的列序数由上至下严格递增 规范阶梯型矩阵： 主元均为1 主元所在列的其余元素都是0
阶梯形不唯一 阶梯形中非零行个数唯一
矩阵的标准型： 左上角是单位矩阵 其余元素都是0
矩阵可只经过初等行变换化为阶梯形矩阵和规范阶梯形矩阵 矩阵可经初等变换化为标准型矩阵
标准型是唯一的
初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
初等矩阵都是可逆矩阵
左乘初等方阵： 对矩阵A作一次相应的初等行变换 右乘初等方阵： 对矩阵A作一次相应的初等列变换
矩阵的秩： A中有一个不为0的r阶子式 且所有r+1阶子式都为0 则r为矩阵的秩
矩阵的秩唯一 子阵的秩小于等于矩阵的秩 转置运算不改变秩 阶梯形矩阵的秩等于非零行数
初等变换不改变矩阵的秩 左/右乘可逆矩阵不改变矩阵的秩
矩阵可逆的充要条件： 满秩 标准形是单位阵 可以表示为初等方阵之积
分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换： 1、交换分块矩阵的两行/列 2、分块矩阵的某行/列左/右乘一个可逆矩阵 3、分块矩阵的某行/列左/右乘一个矩阵加到另一行/列
对分块矩阵进行一次初等变换相当于没分块的矩阵进行了若干次的初等变换
分块初等矩阵： 由分块单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
对分块矩阵作初等行/列变换相当于对分块矩阵 左/右乘相应的分块初等矩阵
线性方程组消元法
解的判别
系数矩阵和增广矩阵的秩与未知数个数的关系
高斯消元法： 方程组的系数矩阵(增广矩阵)化成行最简形 矩阵，求解此时对应的新方程组
齐次线性方程组
非齐次线性方程组
矛盾线性方程组的最小二乘解： (A^T)Ax=(A^T)b
向量空间： 向量的加法和数乘运算满足八条运算律 n维向量的全体构成n维线性空间
矩阵的向量表示
线性方程组的向量表示
向量的线性相关性与线性方程组的关系
向量组线性相关，则组成矩阵的行列式为0，矩阵A奇异
向量组线性相关，则截断向量组线性相关 向量组线性无关，则延长向量组线性无关
向量组的秩： 极大线性无关组所含向量的个数
矩阵的行变换不改变列的线性相关性 矩阵的列变换不改变行的线性相关性
矩阵秩的相关结论
线性方程组解的结构
齐次线性方程组
基础解系的线性组合
齐次线性方程组的基础解系不唯一 基础解系包含的解向量的个数唯一( n-r(A) )基础解系之间等价
设 R(A)= r, 则齐次线性方程组AX=0的任意 n-r个线性无关的解向量都可以作为它的基础解系
非齐次线性方程组
齐次通解加非齐次特解
相似矩阵
特征值与特征向量： Ax=λx
只针对方阵 x可以看作(λE-A)x=0的非零解向量 特征向量的全体与零向量构成n阶n-R(λE-A)维线性子空间
性质： 特征值之和等于矩阵的迹 特征值之积等于矩阵行列式
性质： 属于不同特征值的特征向量线性无关 属于同一特征值的非零向量线性组合仍是该特征值的特征向量 不同特征值线性无关的特征向量构成的向量组线性无关 一个特征向量不能属于不同特征值
定理： 几何重数不超过代数重数
相似矩阵与对角化
相似矩阵： P ^(-1)AP=B
具有反身性、对称性、传递性 是一种等价关系
相似矩阵有相同的特征值、迹、行列式 相似矩阵的逆矩阵、伴随矩阵、方幂、数乘、多项式对应相似
矩阵相似于对角阵
定理： 矩阵A能对角化 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
每个特征值的几何重数等于代数重数
特殊矩阵： 幂等、对合、秩为1迹非0矩阵可以相似对角化
约当标准型
约当块
是幂零指数为n的幂零矩阵
约当标准型： 对角线上为约当块，其余元素为0
λ的几何重数等于对角元为λ的约当块的个数
幂零矩阵的约当标准型
约当块最大阶数为幂零指数k
0的几何重数是约当块的个数
化零多项式： f(A)=0
性质： 化零多项式的倍式还是化零多项式 分块对角矩阵对角线上对角块的零化多项 式的最小公倍式是这个分块对角矩阵的零 化多项式
Caylay-Hamilton定理
方阵的最小多项式： 首项系数为1，次数最低的化零多项式
特征多项式是最小多项式的倍式
最小多项式存在且唯一
相似方阵有相同的最小多项式
分块对角矩阵对角线上对角块的最小多项 式的最小公倍式是这个分块对角矩阵的最 小多项式
A相似于对角阵的充要条件是 A的最小多项式没有重根
实对称矩阵的相似对角阵
正交矩阵： 行/列向量组是两两正交的单位向量组
性质： 特征值模长为1 转置矩阵与逆矩阵相等
实对称矩阵
性质： 特征值为实数 不同特征值的实特征向量互相正交
正交相似： 存在正交矩阵Q使得Q^(-1)AQ=Q^(T)AQ=B
定理： 实对称矩阵可以正交相似对角化
推论： n阶实对称矩阵必有n个线性无关的实特征向量 特征向量可以做到相互正交 实对称矩阵各特征值的代数重数与几何重数相等
二次型与对称矩阵
二次型： 含有n个变量的二次齐次函数称为n元二次型
二次型的标准型： 只含有平方项 规范标准型： 只含有平方项且系数为1或-1
用和式/矩阵表示
二次型与实对称矩阵一一对应 矩阵的秩称为二次型的秩
非奇异线性变化
通过正交变换/配方化为标准型
合同关系： B=C^(T)AC，C可逆
具有反身性、对称性、传递性 是一种等价关系
二次型经可逆线性变换仍变为二次型，它们对应的矩阵合同
实对称矩阵A一定合同对角阵 与A合同的对角线上的元素不唯一
惯性定理与正定二次型
惯性定理： 任何实二次型经非退化的线性变换 化为标准型，所有的标准型中正系数的项数相同
可化为规范标准型 规范标准型唯一
阶数、秩与正惯性指数相等则合同 合同则阶数、秩与正惯性指数相等
正惯性指数+负惯性指数=秩
线性空间与线性变换
线性空间的概念
数域： 包含0、1的数集 对四则运算封闭
向量： 由n个数组成的有序数组
向量线性运算（8条）
线性空间： 对加法和数乘封闭 满足8条运算性质
性质： 1、零元唯一 2、负元唯一 3、0*α=0；(-1)*α=-α；k*0=0 4、kα=0，则k=0或α=0
同构： f：U->V为一一映射 f(α+β)=f(α)+f(β)；f(kα)=kf(α)
子空间： 线性空间的非空子集 且对加法数乘构成线性空间
判定： 充分必要条件为线性运算封闭
性质： 子空间的和空间、交空间均构成子空间 子空间的并未必构成子空间
直和： 和为原空间V 交为零子空间
等价定义： 任意向量分解式唯一
多个子空间的直和： 任意子空间交其它空间的和空间为零子空间 仅任意两个空间交为0是不够的
基、维数与坐标
线性组合&线性表出
零向量可以由任意向量组线性表出 任一n维向量可以由n维单位向量组线性表出
线性表示： 向量组(I)中任意向量都能由向量组(II)中向量线性表出
等价： 向量组可以互相线性表示
性质： 反身性、对称性、传递性
线性相关性： 存在一组不全为0的实数使k1α1+……+kmαm=0 存在一个向量能由其它向量线性表出
单个向量构成向量组线性相关的充要条件是该向量是零向量
向量组含有零向量必线性相关
两个数组向量线性相关的充要条件是向量的各个分量对应成比例
几何解释： 两个三维数组向量线性相关表明向量在空间共线 三个三维数组向量线性相关表明向量在空间共面
定理： 部分相关则整体相关 整体无关则部分无关
线性组合与线性相关的关系
向量组线性相关，则存在向量可以由其它向量线性表出
去掉被表出的向量后，向量组张成的空间不变
线性无关向量组添加一个向量后线性相关，则被添加向量可由原向量组向量线性表出，且表示唯一
维数、基与坐标
有限维线性空间： 线性空间可由有限个向量张成
定理： 有限维线性空间中，线性无关向量组长度小于等于生成组长度 有限维线性空间的子空间也是有限维的
基： 1、向量组线性无关 2、线性空间中任一元素可由向量组线性表示
定理： 有限维线性空间的每个生成组都可以化简成一组基 有限维线性空间的任意线性无关向量组都可以扩充成一组基
向量组的替换定理 两个等价无关向量组含相同个数的向量
维数：线性空间的基里所含向量的个数n称为线性空间的维数，记为dimV=n
维数即为线性空间中线性无关向量的最大个数
基不唯一 基所含向量个数唯一 不同基之间等价
基变换公式
维数公式： dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1∩U2)
元素在给定基下的坐标： 线性表示系数排成的有序数组
定理： 数域F上的任何有限维线性空间V都同构 于同维度的数组向量空间F
结论： 实数域上的任何n维线性空间都与𝑹𝒏同构 同构的线性空间维数相同
欧氏空间
内积与欧氏空间
内积： 实线性空间中，按某种法则有唯一实数与α、β对应，这种对应满足对称性、线性性、正定性，则称这个实数是α与β的内积。
欧氏空间： 定义了内积的实线性空间
向量长度： 向量与自己内积的开方
性质： 1、非负性、齐次性 2、柯西-施瓦茨不等式 |(α,β)|<=|α|*|β| 等号成立当且仅当α，β线性相关 3、三角不等式
向量夹角： 若内积为0，称α与β正交
向量间距离： 向量之差的长度，记为d(α,β)
有限维欧氏空间V中内积的一般计算 度量矩阵
欧氏空间的正交基与标准正交基
正交向量组： 向量组中向量均非零且两两正交
性质： 欧氏空间中的正交向量组线性无关
标准正交基： 一组基两两正交且长度均为1
向量组的正交化和单位化
Gram-Schmidt正交化
n维欧氏空间总存在标准正交基 n维欧氏空间V的任意单位正交向量组都可扩充成 V的标准正交基。
正交补空间： U中任一元素与正交补空间W中任一元素内积为0
子空间与子空间的正交补空间是直和
欧氏空间的同构
定理： 欧氏空间的同构关系是一个等价关系 两个有限维欧氏空间同构充分必要条件是它们的维数相同
线性变换
线性映射： 线性空间V到W的映射满足可加性和齐次性
Im(σ)称为线性映射的值域 ker(σ)称为线性映射的核
Im(σ)为W的子空间 ker(σ)为V的子空间 分别称为像空间和核空间
像空间的维数称为线性变换的秩 核空间的维数称为线性变换的零度
像空间为W，则为满射 核空间为零空间，则为单射
线性变换的运算
定理： 线性变换的和、数乘和线性变换的积仍为线性变换
线性变换的乘积不满足交换律
线性变换保持线性关系不变 线性变换将线性相关的向量组变换到线性相关的向量组
σ：V->W，像空间与核空间的维数之和等于V的维数
秩思维导图模板大纲
矩阵最高阶非0子式的阶数 向量组极大线性无关组的长度 二次型对应实对称矩阵的秩
矩阵秩=行秩=列秩
方程组解的判定
齐次： R(A)=n则只有0解 R(A)<n则有非0解
非齐次： R(A)=R(~A)=n 唯一解 R(A)=R(~A)<n 无穷多解 R(A)<R(~A) 无解
齐次线性方程组解空间维数n-R(A) 矩阵的行/列向量组张成空间的维数R(A)
行列式不为0思维导图模板大纲
矩阵可逆/满秩/非奇异/非退化
等价于单位阵 可以写成初等方阵的基
秩=行秩=列秩
与矩阵相乘不改变该矩阵的秩
行/列向量线性无关 可以作为n维空间的基
矩阵作系数矩阵时 齐次线性方程组只有0解 非齐次线性方程组有唯一解
特征值不为0
向量组线性无关思维导图模板大纲
向量排成方阵，则行列式不为0
极大线性无关组即向量组本身 向量组的秩等于向量个数
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P |P|非0时β1,β2,,β3线性无关
齐次线性方程组只有零解 非齐次线性方程组唯一解
可以作为n维实线性空间的一组基 任意n维向量可以由该向量组线性表出
作为矩阵的特征向量，则矩阵可相似对角化
齐次线性方程组只有0解思维导图模板大纲
系数行列式不为0 系数矩阵满秩/可逆/非奇异/非退化
系数矩阵行/列向量组线性无关 系数行/列向量组秩为n
非齐次线性方程组有唯一解
系数矩阵特征值非0
矩阵本质：线性变换思维导图模板大纲
矩阵乘法具有结合律、不具有交换律： 复合变换
初等矩阵的意义： 用初等变换的复合构建所有变换
特征向量：Ax=λx 表示A对特定的x只有拉伸效果
行列式： 面积/体积/……扩大的倍数
|AB|=|A||B| 先后扩大倍数的叠加
特别的矩阵
幂等： 投影变换
对合： 镜面反射变换
实正交矩阵： 正交变换不改变向量长度
等价思维导图模板大纲
向量组等价： 向量可以互相线性表示
矩阵等价： PAQ=B
满足反身性、对称性、传递性即可作为等价关系
用于给事物分类，便于寻找共性的处理
零向量思维导图模板大纲
可以被任意向量组线性表示 含有零向量的向量组必线性相关
是任意齐次线性方程组的解
和任意向量内积是0 和任意向量正交
在向量空间的任意基下坐标都是零向量
不会作为极大线性无关组、基础解系、特征向量、基
课程感悟及心得体会： 在线性代数课程的学习中，我越发感受到这是一门奇妙的学科，渐渐越过题目看到了更本质的东西。线性空间可以囊括几何、代数、方程以及更多生活中的内容，把庞大复杂的体系简化为基，通过对基的分析以小见大地把握这一类事物的性质，是一种高效的抽象方式。而矩阵代表了线性变换，用代数方式表示了几何变化；方程组则用一种直观的方式展现了向量间的映射关系。通过线性代数的学习，我懂得了站在更高的视角看待问题，用公理化的方法分析问题，用多种维度共通的知识解决问题，同时也感受到线性代数是一门既实用又优美的学科。思维导图模板大纲
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