高二数学必修3第一章重难点：古典概型思维导图

题意分析：本试题考查一次试验中用列举法列出所有基本事件的结果，而画树状图是列举法的基本方法.

A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d}

解法二：树状图

解题后的思考：用树状图求解一次试验中的基本事件数比较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.

例2：(1)向一个圆面内随机地投射一个点，如该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么?

(2)如图，某同学随机地向一靶心射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?

答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的"可能性相同"，但这个试验不满足古典概型的第一个条件.

(2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.

题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算.

解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握了全部或部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型.

P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25

基本事件的总数4解题后的思考：运用古典概型的概率公式求概率时，一定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发生的基本事件数，再借助于概率公式运算. 小结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第一个关键点;理解一次试验中的所有基本事件数，和事件A发生的基本事件数，是解决概率问题的第二个关键点.

知识点二：古典概型的运用

例4：同时掷两个骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果?

(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?

(4)为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 思路分析：

解：(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个"有序实数对"来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示掷1号骰子的结果，第二个数表示掷2号骰子的结果.(可由列表法得到) 1号骰子2号骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种. (2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为： (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)

(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为

P(A)=A所包含的基本事件的个数2=

基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了.可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件.

解题后的思考：考查同学们运用古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件.

对于同时抛掷的问题，我们要将骰子编号，因为这样就能反映出所有的情况，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的.

题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运用

解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是"不放回的，连续的取两次".

解法1：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.

用A表示"取出的两件中，恰好有一件次品"这一事件，则 A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)] 事件A由4个基本事件组成，因而P(A)=

42= 63解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)=

2 3解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.

题意分析：本题考查放回抽样的概率问题.

解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是"有放回的，连续的取两次".

解答过程：每次取出一个后放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有9个，即

(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1) (a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2) (b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品. 用A表示"取出的两件中，恰好有一件次品"这一事件，则 A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)] 事件A由4个基本事件组成，因此P(A)=

知识点三：随机数产生的方法及随机模拟试验的步骤

例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少? 思路分析：

解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能用古典概型的概率公式计算，我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%. 解答过程：

例如：产生20组随机数：

这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表示恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考：

小结：能够简单的体会模拟试验求解非古典概型概率的方法和步骤.高考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%. 20