指数函数的导数公式思维导图

y=e^x y'=e^x

y=lnx y'=1/x

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0.

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

△y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

如果直接令△x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：△x=loga(1+β).

所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然,当△x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna.

可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.

△y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

△y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

因为当△x→0时,△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有

lim△x→0△y/△x=logae/x.

可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.

这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1).

△y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

△y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

①(ln(u^v))'=(v * lnu)'

②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)