高等数学（下）思维导图

内积：a.b= x1x2+y1y2 = |a| |b| cost

向量积：= a×b |a| |b| sint = 平行四边形面积

混合积：[a,b,c]=(a×b).c = 平行六面体体积（注意绝对值）

一般式：Ax+By+C

点向式

参数方程：x=x0+mt ; y=y0+nt ; z=z0+pt (p为参数）

一般方程：Ax+By+Cz+D=0

点法式

三点式

截距式

点到直线距离公式

（A1x+B1y+C1z+D1) + k(A2x+B2y+C2z+D2) = 0

锥面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆抛物面

双曲抛物面

公式法

求导法

微分法

定义法

公式法

性质

计算：方向导数变化率

必要条件：f(x,y)在点p(x0,y0)可导且取极值 → fx=0，fy=0

充分条件

积分区域类型

意义：被积函数为1时表示区域面积

轮换对称性：满足右手系

求法

极坐标：r dr

柱坐标：r dθdr

球坐标：r²sinφ dθdφdr

一般换元法：|J| dudv（雅可比行列式的绝对值）

计算：√(r²＋r'²) dθ / √(x'²＋y'²) dt

dS =√( 1 ＋ z'(x)² ＋ z'(y)² )

可以将曲面方程代入被积函数计算

质心坐标公式：xρ(x,y) dσ / ρ(x,y) dσ

形心坐标公式：x dxdy / A(面积)

I = 距离² × 质量

性质：矢量（矢量叠加原则）

计算【单位质点对(0,0,a)点】：dF = Gm/r² dM = Gmρ(x,y) / (x²+y²+a²) dσ

连续性

可导性

连续性

可导性

转为第一型：Pdx+Qdy+Rdz = Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t) dt

格林公式

积分与路径无关条件

全微分方程

方向：+前－后，+右－左，+上－下

有向曲面微元：有向曲面微元 = 面积微元 × cosγ dxdy（cos可正可负）

公式：偏导相加对体积积分

适用条件：封闭，光滑，一阶可导，外侧

计算：偏导相加

意义：判断有源有汇无源

与梯度关系：转换数量场和向量场

公式：三行三列行列式 dS（第一行补缺，第二行按序，第三行对应）

适用条件：封闭，光滑，有向，符合右手系

计算：三行三列行列式（第一行ijk）