高等数学（下）思维导图
向量代数，空间解析几何，教学应用等内容讲解
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思维导图大纲
高等数学（下）思维导图模板大纲
向量代数与空间解析几何
向量
向量定义，模长
计算
内积：a.b= x1x2+y1y2 = |a| |b| cost
向量积：= a×b |a| |b| sint = 平行四边形面积
混合积：[a,b,c]=(a×b).c = 平行六面体体积（注意绝对值）
平面和空间直线
空间平面
一般式：Ax+By+C
点向式
参数方程：x=x0+mt ; y=y0+nt ; z=z0+pt (p为参数）
直线
一般方程：Ax+By+Cz+D=0
点法式
三点式
截距式
点到直线距离公式
平面束
（A1x+B1y+C1z+D1) + k(A2x+B2y+C2z+D2) = 0
空间曲面
柱面：少一个字母
旋转面：绕轴旋转（绕哪个哪个不变，另一变剩下两个平方和）
二次曲面
锥面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面
多元函数微分学及其应用
多元数值函数
定义
极限
连续性
可微条件
各个条件间关系：偏导连续→可微→其他
微分法
偏导数求法：链式求导（4个类型，树形图）
全微分：一阶微分形式不变性
隐函数求导法
公式法
求导法
微分法
方向导数和梯度
方向导数
定义法
公式法
梯度
性质
沿梯度正（反）方向方向导数增加（减少）最快
梯度总是垂直等值线切线方向，越密集越大
计算：方向导数变化率
多元函数性质
极值存在条件
必要条件：f(x,y)在点p(x0,y0)可导且取极值 → fx=0，fy=0
充分条件
邻域内有一，二阶连续偏导数且偏导为零 → A，B，C关系
找驻点或不可导点
拉格朗日乘数法
已知方程 + k（约束条件）= 0
多元函数积分学及其应用
重积分
累次积分
二重积分
积分区域类型
x型
y型
意义：被积函数为1时表示区域面积
三重积分
轮换对称性：满足右手系
求法
先二后一：利用截面面积
先一后二：利用投影
对称性：奇消去偶翻倍（注意上下限）
积分换元法
极坐标：r dr
柱坐标：r dθdr
球坐标：r²sinφ dθdφdr
一般换元法：|J| dudv（雅可比行列式的绝对值）
第一型曲线积分（对弧长的积分）
意义：可表示以L为准线，母线平行于z轴的柱面面积
意义：可表示以L为准线，母线平行于z轴的柱面面积
计算：√(r²＋r'²) dθ / √(x'²＋y'²) dt
第一型曲面积分（对面积的积分）
意义：被积函数为1时表示曲面面积
计算
dS =√( 1 ＋ z'(x)² ＋ z'(y)² )
可以将曲面方程代入被积函数计算
应用
质心
质心坐标公式：xρ(x,y) dσ / ρ(x,y) dσ
形心坐标公式：x dxdy / A(面积)
惯性矩
I = 距离² × 质量
引力
性质：矢量（矢量叠加原则）
计算【单位质点对(0,0,a)点】：dF = Gm/r² dM = Gmρ(x,y) / (x²+y²+a²) dσ
含参变量的积分
被积函数含参
连续性
可导性
积分限含参
连续性
可导性
计算：被积函数对参数求导再积分 + 上限代入乘上限导 － 下限代入乘下限导
多元向量值函数积分
第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）
定义：积分微元是有向切线微元
计算
转为第一型：Pdx+Qdy+Rdz = Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t) dt
格林公式
正向边界：沿曲线行走始终在观察者左侧
公式：（Q对x偏导 － P对y偏导）对面积积分
补线：尽量选取与坐标轴平行直线
奇点：取x²+y²=ε²反方向（包住奇点代入方程消去）
积分与路径无关条件
条件：4点（通常偏导相同）
计算：取特殊路径转换为曲线积分
全微分方程
计算
求导法
凑微分法
积分法
积分因子：使非全微分方程转化为全微分方程
积分倒推公式
第二型曲面积分（有向曲面积分）
有向曲面
方向：+前－后，+右－左，+上－下
有向曲面微元：有向曲面微元 = 面积微元 × cosγ dxdy（cos可正可负）
计算：Pcosα＋Qcosβ＋Rcosγ dS = Pdydz＋Qdxdz＋Rdxdy（加上“+—”号）
高斯公式
公式：偏导相加对体积积分
适用条件：封闭，光滑，一阶可导，外侧
散度
计算：偏导相加
意义：判断有源有汇无源
与梯度关系：转换数量场和向量场
斯托克斯公式
公式：三行三列行列式 dS（第一行补缺，第二行按序，第三行对应）
适用条件：封闭，光滑，有向，符合右手系
旋度
计算：三行三列行列式（第一行ijk）
无穷级数
沪公网安备 31011502019485号
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