矩阵论思维导图
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思维导图大纲
矩阵论思维导图模板大纲
线性空间与线性变换
线性空间
线性空间定义
线性组合
线性子空间
值域和零空间
子空间的交与和
矩阵表示
线性变换运算与矩阵关系
矩阵多项式
坐标变换，同一线性变换不同基下矩阵关系
Jordan标准型
特殊线性空间
欧式空间
定义与性质
范数：在欧氏空间中，非负实数为向量a的长度
正交性
正交变换与正交矩阵
对称变换与对称矩阵
酉空间
定义
共轭转置
正规矩阵
范式理论及其应用
向量范式及其性质
定义，三个条件：非负性、齐次性、三角不等式
1-范式
2-范式
∞-范式
p-范式
加权范式/椭圆范式
性质——等价性
矩阵范式
定义与性质
广义矩阵范式三个条件：非负性、齐次性、三角不等式。如果还满足相容性，则为矩阵范式。
如果Ax的v范式小于等于A的m范式与x的v范式之积，则称矩阵范式m与向量范式v是相容的
常用的矩阵范式
从属范式：由向量范式导出的矩阵范式称为矩阵的从属范式。
列和范式、谱范式和行和范式
范式的应用
矩阵非奇异条件
近似矩阵的误差
谱半径及其性质
谱半径为矩阵的最大特征值
谱半径为矩阵范式的最小值
矩阵分析及其应用
矩阵序列
{A(k)}收敛/发散/有界——>矩阵A收敛
矩阵级数
矩阵序列的无穷和S(N）为矩阵级数。
幂级数
矩阵函数
定义与性质
当n阶矩阵A的谱半径小于幂级数的收敛半径r时，则将矩阵幂级数成为矩阵函数。
e^iA、cosA、sinA、cos(-A)、sin(-A)
矩阵函数值的求法
待定系数法
数项级数求和法
对角形法
Jordan标准型法
矩阵函数的微分与积分
导数与微分
dA/dt=(daij/dt)m*n
函数对矩阵的导数：df/dX=函数对矩阵每个元素的偏导数
函数矩阵对矩阵的导数：dF/dX=函数矩阵中每个函数对对矩阵每个元素的偏导数的复合
矩阵函数应用
一阶线性常系数齐次微分方程组
基础解系/通解
一阶线性常系数非齐次微分方程组
特征值估计
特征值估计
特征值的界
定理5.1
定理5.2
行严格对角占优以及列严格对角占优
定理5.3
定理5.4
定理5.5
特征值的包含区域
Gerschgorin圆（盖尔圆）
矩阵A的第i个盖尔圆的半径Ri=矩阵A的所有元素的模的和
矩阵A的特征值在A的所有盖尔圆的并集之内
矩阵A的k个盖尔圆形成的连通部分中有且仅有A的k个特征值。
扰动理论中的特征值估计
广义特征值问题 Ax=特征值Bx
等价形式
将广义特征值问题等价为B^-1A的普通特征值问题
将广义特征值问题等价为对称矩阵S的普通特征值问题
特征向量的正交性
对阵矩阵特征值的极性
实对称矩阵的Rayleigh商的极性
矩阵A的Rayleigh商R(x)是连续函数、零次齐次函数
若A为对称矩阵，则其R(x)的最小值为特征值X1，最大值为特征值Xn。
Courant-Fischer定理：若矩阵A的特征值按升序排列，则A的第k个特征值=minmax{x^TAx}
广义特征值的极小极大原理
A,B为n阶实对称矩阵，且B正定，则称R(x)=x^TAx/x^TBx为A相对于B的R商。
设Vk为R中的任意k维子空间，则广义特征值问题的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有极大极小性质。第k个特征值=min[maxR(x)],第n-k+1个特征值=max[minR(x)]
矩阵的直积及其应用
矩阵分解
矩阵三角分解（LU分解）
如果矩阵A可以分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，则称矩阵A可作三角分解（LU分解）。如果矩阵A除两个三角矩阵外，还可以分解出对角矩阵D，则称A可作LDU分解。
存在性与唯一性
三角分解算法
矩阵QR分解
Givens变换与Householder变换
Givens矩阵与变换
Givens矩阵Tij=Tij（c，s），c^2+s^2=1。由Givens矩阵确定的变换为Givens变换。
Givens矩阵是正交矩阵
Householder矩阵和变换
Householder矩阵：H=I-2u*u^T。由该矩阵确定的比那换为Householder变换
对称矩阵、正交矩阵、对合矩阵、自逆矩阵。det（H）=-1。
Givens变换是两个初等反射变换（Householder变换）的乘积
QR分解（正交三角分解）
非奇异矩阵A能过够分解成正交（酉）矩阵Q与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR，则称式为A的QR分解。
若A为非奇异矩阵，则存在QR分解，且除去一个对角矩阵因子外，分解式式唯一的
A为m*n矩阵，且n个列线性无关，则存在分解式A=QR。
任意n阶非奇异矩阵A，可通过左连乘初等旋转矩阵转化为非奇异上三角矩阵
任意非奇异矩阵A，可通过左连乘Householder矩阵转化为非奇异上三角矩阵
Gram-Schmidt正交化
矩阵满秩分解
A=FG，其中Fm×r （列满秩）和Gr×n（行满秩）
满秩分解计算
初等行变换方法
Hermite标准型
奇异值分解
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