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线性代数思维导图

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大学线性代数的学习方法

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思维导图大纲

线性代数思维导图模板大纲

意义

利用数学工具解线性方程组(多变量)

矩阵

构成:方程组的系数及常数所构成的方阵

性质

加减

数乘

乘法

条件:前列等于后行

运算:前行乘于后列

相似

A=(C^-1)B(C^-1)

特征值相等(行列式相同)

合同

A=(C^T)B(C^T)

秩相同

伴随矩阵

变换

转置

条件

行列式不为零

运算

伴随矩阵除与行列式

初等变换

分块

逆:左右对角逆矩阵不同

转置:块矩阵也要转置

初等变换

注意:变换后的矩阵不相等,只是性质相同

行列式

性质:解线性方程组产生的一种算式

条件:矩阵为方阵

初等变换

变换后值相等

区别矩阵变换

计算

低阶

对角相乘后相减

高阶

行(列)展开变为低阶

二次型

性质:两个未知数构成的方程,用矩阵表示

矩阵的构成

标准型

线性变换

正交矩阵转换

特征向量

性质:表示矩阵的性质

特征方程

行列式

特征值

特征方程的解

特征向量

带入特征值后矩阵的基础解系

线性方程组

向量

性质:列矩阵

向量组

性质:有相同行的向量组成的矩阵

最大线性向量无关组

向量组矩阵的秩

线性表示

性质

某向量可以由其他向量组表示(系数可以为零)

线性相关

性质

向量组中存在向量可以由其他向量表示

构成的系数不能全部为零

证明

构成矩阵

矩阵变换

线性方程组求解

解的性质

无解

R(A)不等于R(A,b)

零解

齐次

R(A)=n

非齐次

R(A,b)=R(A)=n

非零解

齐次

R(A)<n

非齐次

R(A,b)=R(A)<n

齐次

封闭性

数乘解还是齐次的解

一个解加另一个解还是齐次的解

非齐次

解与解只差为齐次的解

通解等于特解加齐次的通解

齐次

构成矩阵

矩阵变换

求基础解系

非其次

求特解

加上齐次的通解

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