多元函数积分学及其应用思维导图

\iint_Df(x,y)dxdy若D关于x轴对称，只考虑f(x,y)关于y的奇偶性，x看作常数

\iint_Df(x,y)dxdy若关于轴x=y对称，被积函数的两个变量可以互换位置，函数值不变

被积函数的可加性：设\alpha 和 \beta为常数，则\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d \sigma=\alpha \iint_Df(x,y)d\sigma+\beta\iint_Dg(x,y)d\sigma

积分区域的可加性：\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)d\sigma

如果在D上f(x,y)=1,且|D|为D的面积，则|D|=\iint_Dd\sigma

保不等式性：如果在D上，f(x,y)\le g(x,y)，则\iint_Df(x,y)d\sigma\le \iint_Dg(x,y)d\sigma

保序性：若闭区域D_1\in D_2,则\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma\le \iint_{D_2}f(x,y)d\sigma

估值不等式：设M和m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，|D|是D的面积，则m|D|\le\iint_Df(x,y)d\sigma\le M|D|

中值定理：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，|D|是D的面积，则在D上至少存在一点f(\xi,\eta)使得\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)|D|

中值定理的一般形式：设函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，且g(x,y)在D上不变号，则在D上至少存在一点(\xi,\eta)使得\iint_Df(x,y)g(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\iint_Dg(x,y)d\sigma

X型区域：任意一条平行于y轴的穿过区域D内部的直线与区域D的边界恰有上下两个交点

Y型区域：任意一条平行于x轴的穿过区域D内部的直线与区域D的边界恰有上下两个交点

\iint_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{b}^{a}(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy)dx

x=\rho cos(\theta),y=\rho sin(\theta),\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos(\theta),\rho sin(\theta))\rho d\rho d\theta

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)

则S=\iint_D\sqrt{EG-F^2}dudv

E=x_u^2+y_u^2+z_u^2

F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v

G=x_v^2+y_v^2+z_v^2

平面薄片

空间质心

平面薄片

空间物体

\int_Lf(x,y)ds=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i,\Delta s_i称为弧微分

性质

计算方法

课程链接：【微积分2】4. 曲线积分与曲面积分1——对弧长的曲线积分（3月9日直播录像）-网易公开课 (163.com)

F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,向量形式，方向分正负

\int_LF(x,y)dr=\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

计算

\int_LPdx+Qdy=\int_L(Pcos\alpha+Qcos\beta)ds

当\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1时得出的就是所围封闭图形的面积

当一个积分路径L不是有向闭曲线的积分不易直接计算时，可以采用补充一段或几段相对简单的有向曲线把L修补为分段光滑的有向闭曲线L.

例题：计算曲线积分\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},其中L是一条不经过原点且方向为逆时针方向的有向光滑连续闭曲线。

解法：P(x,y)=\frac{-y}{4x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{4x^2+y^2}，易得出\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},因为当(0,0)不在封闭区域上，得出的面积为0，当(0,0)在封闭区域上，采用挖小洞的方法将不连续点除去，设小洞的封闭曲线为C,则有面积S=\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}+\oint_{C^-}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},(可以看作大区域面积减去挖洞的面积得到所要求的面积)，因为\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}为0，所以S=\oint_{C^-}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2},设x=\frac{\varepsilon}{2}cos(\theta),y=\varepsilon sin(\theta),算出C^-的面积即可得出结果。

在区域D中，在$A和B之间任意连接一条线（不出界），都有\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy成立，其中L_1,L_2是从A到B的两种路径。

设D是一个\color{yellow}单连通区域,函数P=P(x,y),Q=Q(x,y)在D上有\color{yellow}一阶连续偏导数，则下列条件等价：（可由循环论证验证）

如果满足du=Pdx+Qdy，则\int_{L}Pdx+Qdy=u(B)-u(A)，曲线积分的基本定理

若u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}Pdx+Qdy。则选择积分路径为平行于坐标轴的折线段，有u(x,y)=\int_{x_0}^{x}Q(x_0,y)+\int_{y_0}^{y}P(x,y)

计算方法：可由两段平行于x轴和y轴的直线来当作积分路径，设起点为(0,0)，终点为(x_0,y_0),AB段平行于x轴，\int_{AB}Pdx+Qdy=\int_{0}^{x_0}Pdx,BC段平行于y轴，\int_{BC}Pdx+Qdy=\int_{0}^{y_0}Qdy,所以结果为\int_{L}Pdx+Qdy=\int_{0}^{x_0}Pdx+\int_{0}^{y_0}Qdx.

\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}d\sigma

有向曲面：

\iint_{\sum}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy

函数在\sum上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和

计算：分别计算三个二重积分再相加（注意方向）（一投二代三定号）

cos\alpha=\frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},cos\beta=\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}

\iint_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_{\sum}(Pcos\alpha+Qcos\beta+Rcos\gamma)dS