多元函数微分学及其极限思维导图

定义：坐标平面上具有某种性质P的点的集合，成为平面点集，记作{E=(x,y)|(x,y)具有某种性质}

邻域U(P_0),去心邻域\hat{U}(P_0)

邻域公理

内点：如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P)\in E,则称P为E的内点。

外点：如果存在点P的某个邻域U(P)使得U(P) \cap E=\emptyset,则称P为E的外点。

边界点：如果在点P的任意一个邻域内既包含属于E的点，又包含不属于E的点，则称P为E的边界点。

聚点：如果对于任意给定的\delta > 0,点P的去心邻域\hat{U}(P,\delta)内均包含属于E的点，则称P是E的聚点。

开集：如果点集E中的每一个点都是内点，则称E是开集。

闭集：如果点集E的边界\delta E \in E,则称E是闭集。

连通集：如果点集E中任何两点，都可以用完全属于E的折线相连，则称E是连通集。

开区域，闭区域，区域：连通的非空开集称为开区域，开区域连同它的边界构成的点称为闭区域，开区域，闭区域，以及开区域连同它的部分边界构成的点统称为区域。

极限：设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，P_0(x,y)是D的聚点，如果存在常数A满足，对于任意给定的正数\epsilon,总存在正数\delta，使得当点P(x,y) \in D \cap \hat{U}(P_0,\delta)时，有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon,成立，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)\to(x_0,y_0)时的极限，记作\lim\limits_{P\to P_0}{f(P)}=\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}{f(x,y)}=A

二重极限：如果在函数f的定义域内，点p以某种特殊方式，比如沿着一条直线或曲线趋向P_0时，f(P)能够无限趋向确定的数值A，不能断定函数f的极限存在，但是反过来，如果函数f以不同方式趋于P_0时，f(P)趋于不同的实数，或不能趋于确定的数时，则可以断言函数f的极限不存在。

二元函数极限的性质和运算法则（洛必达法则除外）

多元函数的连续性（所有的初等函数在n\geqslant 2时，它们在各自定义域内都连续）

设函数u=\varphi(t),v=\psi(t)在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)可微分，则复合函数z=f(\varphi(t),\psi(t))在点t点可导，且\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t}。

\color{yellow}连线相乘，分道相加

全微分形式不变性：

设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分，则它在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta,(cos\alpha,cos\beta)是方向l的方向余弦

参数方程空间曲线参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)

一般方程：F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0，表示两个曲面的交线

设F(x,y,z)=0，x=x(t),y=y(t),z=z(t)，对t=t_0求导有F_x(P_0)x'(t_0)+F_y(P_0)y'(t_0)+F_z(P_0)z'(t_0)=0,即T gradF(P_0)=0

切平面方程：F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0

法线方程：\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}

极值：在某个范围内的最值，极值可以有许多个

最值：在函数值域内的最大/小值，最值只有一个

（1）.当AC-B^2>0时，(x_0,y_0)是极值点，且若A>0,则f(x_0,y_0)为极小值，若A<0，f(x_0,y_0)是极大值

（2）.当AC-B^2=0时，(x_0,y_0)不确定是否是极值点

（3）.当AC-B^2<0时，f(x_0,y_0)不是极值

求出函数全部的驻点和偏导数不存在的点

对每一个驻点进行ABC分析

当AC-B^2\ne 0时，判断是否为极值

求出所有的边界点和极值点

求出函数值并比较

一：构建拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)

二：求偏导数L_x(x,y)和L_y(x,y)，建立方程组

三：解方程组，求出可能的极值点

设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某一邻域U内具有直到n+1阶连续偏导数，则当点(x_0,y_0)\in U时，有

f(x,y)=f(x_0,y_0)+(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)+...+\frac{1}{n!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0，y_0)+\frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k),h=x-x_0,k=y-y_0,0<\theta<1,(h\frac{\partial}{\partial x}+k\frac{\partial}{\partial y})^nf(x_0,y_0)=\sum\limits_{l=0}^{n}{l\choose n}h^lk^{n-l}\frac{\partial^nf}{\partial x^l\partial y^{n-l}}|_{(x_0,y_0)}，{l \choose n}表示从n个元素中取l个的组合数