高等数学集合知识点思维导图

高等数学集合知识点思维导图模板大纲

1. 概念

   1. 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

   2. 集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）

   3. 全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N

   4. 所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。

   5. 全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。

   6. 全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。

   7. 全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。

2. 集合的表示方法

   1. 列举法

      1. 把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合

   2. 描述法

      1. 用集合所有元素的共同特征来表示集合

3. 集合间的基本关系

   1. 子集

      1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊂B。

   2. 相等

      1. 如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

   3. 真子集

      1. 如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A⊆B。

   4. 空集

      1. 我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。

4. 结论

   1. 任何一个集合是它本身的子集。

   2. 对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

   3. 我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

5. 集合的基本运算

   1. 并集

      1. 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）

         1. 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

   2. 交集

      1. 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。

         1. 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

   3. 全集

      1. 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

         1. 通常记作U。

   4. 补集

      1. 对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集。简称为集合A 的补集，记作CUA。

         1. 即CUA＝｛x|x∈U，且x 不属于A｝。

   5. 运算公式

      1. 交换律

         1. A∪B=B∪A A∩B=B∩A

      2. 结合律

         1. （A∪B)∪C=A∪(B∪C)

            1. (A∩B)∩C=A∩(B∩C）

      3. 分配律

         1. （A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C)

            1. （A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C)

      4. 对偶律

         1. CU（A∪B)=CUA∩CUB

            1. CU（A∩B)=CUA∪CUB

6. 集合中元素的个数

   1. 有限集

      1. 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

   2. 用card 来表示有限集中元素的个数。

      1. 例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。

   3. 一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

7. 常量与变量

   1. 常量

      1. 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化， 我们把其称之为常量

   2. 变量

      1. 有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其 称 之为变量。

   3. 变量的表示

      1. [a，+∞)

         1. 表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞

      2. (-∞，b)

         1. 表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b

      3. (-∞，+∞)

         1. 表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞