应用泛函分析脑图思维导图
应用泛函相关内容分析知识讲解
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思维导图大纲
应用泛函分析思维导图模板大纲
1 集合与映射
集合的关系及运算
有限集与无线集；集合的包含关系；集合的交、并、差与运算律；集合的直积
映射及其性质
像、原像；常值映射；单射、满射、双射、逆映射、复合映射
可数集
可数集、不可数集；可数集的性质；有理数集
实数集的确界
数域；有界实数集；确界存在原理；单调有界准则
2 线性空间
定义和例子
线性空间的性质
子空间
线性组合与线性表示；由集合张成的子空间；线性相关与线性无关；无限集的例子
基与维数
定义；矩阵的基与维数；元素在基下的坐标
线性算子
线性算子的性质
线性算子的零空间
线性算子的运算
线性运算；线性算子的矩阵
线性同构
3 赋范线性空间
定义
常见赋范空间
方阵的范数
由范数导出的度量及其性质
赋范线性空间的距离
集合的距离；直径与有界集
赋范线性空间的收敛性
收敛序列；无穷级数
赋范线性空间的连续性
连续映射及其充要条件
柯西数列
Cauchy序列及性质；Banach空间
完备性
完备赋范空间；不完备赋范线性空间
等价范数和子空间
等价范数的性质；有限维空间的完备性
4 赋范线性空间中的点集
开球与闭球
开集与闭集
闭包
性质
闭集的性质
5 有界线性算子
定义
例子；无界线性算子例子
有界线性算子的范数
线性算子的有界性与连续性
有界线性算子空间
次乘性
6 方阵范数
方阵范数
方阵的算子范数
方阵的三中算子范数；方阵的算子范数的次乘性
方阵范数
相容性
方阵范数与向量范数的相容性
谱半径
方阵谱半径与方阵范数之间的关系；
7 内积空间
定义
内积公理
常见的内积空间
n维欧几里德空间、复内积空间
性质
内积导出的范数
范数公理；F-范数；性质
内积空间与赋范空间
关系；内积空间的完备性；内积子空间的定义与性质
正交
内积空间中的正交系
正交系、标准正交系的性质；勾股定理的推广；正交化问题
8 正交分解和最佳平方逼近
正交分解
正交投影；投影的唯一性、存在性；线性子空间的直和；
广义傅立叶系数
定义
Bessel不等式
完全标准正交系；等价条件
广义傅立叶级数
定义及应用
最佳平方逼近
函数的最佳平方逼近；多项逼近
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