高考名师指导：数列专题热点详析思维导图

(Ⅰ)写出Sn与Sn-1的递推关系式(n2)，并求Sn关于n的表达式；

(Ⅱ)设fn(x)=-xn+1，bn=fn1(p)(p∈R)，求数列{bn}的前n项和Tn。

解(Ⅰ)由已知Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，(n2)。

(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1)

两边同除以n(n-1)，

-Sn=-Sn-1+1

设cn=-Sn，

cn=cn-1+1，

由S1=a1=-，c1=1

∴cn=1+(n-1)=n

Sn=-

(Ⅱ)fn(x)=-xn+1=-xn+1，f'n(x)=nxn

bn=npn

设Tn=b1+b2+…+bn=p+2p2+3p3+…+npn (1)

当p=0时，Tn=0

p=1时，

Tn=1+2+…+n=-n(n+1)

pTn=p2+2p3+…+npn+1 (2)

(1)-(2) Tn-PTn=p+p2+…+pn-npn+1

(Ⅰ)求a1,a2；

(Ⅱ)求{an}的通项公式

(Ⅰ)n=1，a1=S1，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=-；

n=2，S2=a1+a2=-+a2，

S2-1=a2--，

代入(a2--)2-a2(a2--)-a2=0，a2=-，S2=-+-=-；

(Ⅱ)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，(Sn-1)(Sn-an-1)-an=0，

(Sn-1)(Sn-1-1)-(Sn-Sn-1)=0，Sn·Sn-1-2Sn+1=0

以上是把an转化成Sn，理由是把Sn转换成an走不通，实际上求出Sn，an也可求出。

由S1=-，S2=-，进一步可求出S3=-，猜想Sn=-，用数字归纳法n=2时命题成立，假定Sk=-，

由关于Sn的递推式，

Sk+1=-=-=-，

∴Sn=-，an=-

注：由递推公式求通项，从特殊到一般，先求出n=1，2，3，…归纳假设提出猜想，再去证明猜想。

证明(Ⅰ)0

(Ⅱ)an+1<-an3

证明(Ⅰ)由已知an+1=f(an)，是以函数形式给出的递推关系，-，

先用数学归纳法证明：0

n=1由已知0

考虑函数f(x)=x-sinx，f'(x)=1-cosx，

∵0

∴f'(x)>0，f(x)↑

f(x)在[0，1]上连续

∴f(0)

∴0

又∵an+1=f(an)=an-sinan，00，

∴an-an+1=sinan>0

∴0

(Ⅱ)要证an+1<-an3，需证-an3-an+1>0，构造函数g(x)=-x3-x+sinx(0

g'(x)=-x2-1+cosx

=-x2-2sin2-

=2[(-)2-(sin-)2]

当0<-<-时，用单位圆易证->sin->0

∴g'(x)>0,g(x)↑0

∴g(an)>g(0),-an3-an+sinan>0

-an3>an-sinan=an-1

注：本题是以函数形式确定递推关系，把递推式中项与项的大小关系转化为函数的单调性。