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高等数学思维导图

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高等数学思维导图中,知识点集中在微积分和数学分析两个方向,微积分的知识点包含微分中值定理及相关应用如罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、洛必达法则,泰勒公式、麦克劳林公式、函数单调性、凹凸性、极值、最值,函数与极限、无穷大与无穷小、函数连续性、连续函数的性质、不定积分。而数学分析的知识点则包含定积分应用和导数与微分,定积分的概念、性质、定理和应用、反常积分、导数的概念、定义、求导法则、高阶导数求导、隐函数、对数及参数方程求导、函数的微分都是需要了解的内容。

思维导图大纲

高等数学思维导图思维导图模板大纲

微分中值定理及导数的应用

微分中值定理

罗尔定理

拉格朗日定理

柯西中值定理

洛必达法则

0/0

首先考虑分子分母中有无等价无穷小替换

∞/∞

其他未定式==》0/0或者∞/∞

泰勒公式

麦克劳林公式

函数单调性与凹凸性

单调性:一阶导=0

凹凸性:二阶导=0

函数的极值与最值

极值:一阶导=0,求出拐点,代入原函数求出极值点,左增右减极大值,左减右增极小值

最值:区间内,端点值,极值比较得出最大值、最小值

函数与极限

集合,区间,去心领域

性质

有界性

奇偶性

周期性

单调性

基本初等函数

数列极限

极限定义

书P14

书P15

有极限=函数收敛于极限值

迫敛法则

函数极限

注意自变量趋向:正负无穷

关于有界性:数列(全部);函数(局部)

分段函数,注意左右极限是否相等

重要极限公式,各种变形P31-33

无穷大与无穷小

无穷大(正负无穷),但极限不存在

无穷小(0),等价无穷小变换公式

函数连续性

单侧连续性

左邻域内有定义,趋向于x0的极限=f(x0),则函数在x0处左连续。

右邻域内有定义,趋向于x0的极限=f(x0),则函数在x0处右连续。

函数间断点

第一类间断点(左右极限均存在)

左右极限均存在且相等——可去间断点

左右极限存在但不相等——跳跃间断点

第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)

左右极限至少有一个为无穷——无穷间断点

左右极限均振荡不存在——振荡间断点

连续函数的性质

反函数在其定义域内连续性与原函数相同

基本初等函数在其定义域内连续

初等函数在其定义区间内连续

闭区间上连续函数的性质(P50)

最大值最小值定理

介值性定理

零点定理

不定积分

概念与性质

连续函数必有原函数

不定积分公式(P141-142)

换元积分法

第一换元积分法

第二换元积分法

分部积分法

有理函数和有理化积分法(P159-165)

待定系数法:比较系数法、赋值法

三角函数的万能代换(不作首选考虑)

定积分及其应用

概念与性质(P170-177)

定义:函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限

定理1(必要性条件):如果f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界

定理2(充分性条件①):如果f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积

定理3(充分性条件②):如果f(x)在[a,b]上有界,且只有有限多个间断点,则f(x)在[a,b]上可积

性质

和函数的积分等于积分的和

被积函数的常数因子可以提到积分号之外

区间可加性

如果在区间[a,b]上,f(x)=1,则∫1·dx=∫dx=b-a(b上a 下)

保序性

定积分估值公式

定积分中值定理

微积分基本公式

积分上线函数及其导数

牛顿-莱布尼茨公式

定积分的换元积分与分部积分法(P183-188)

定积分的应用

元素法

平面图形的面积

立体体积

旋转体

平行截面面积函数的立体体积

平面曲线的弧长

直角坐标情形

参数方程情形

反常积分(P201-205)

无限区间上,无穷限反常积分

极限都存在,反常积分收敛,否则反常积分发散

无界函数

无穷大间断点——瑕点

导数与微分

导数概念,定义

定义式

可导的充分必要条件:左导数与右导数存在且相等

法线:过切点且与切线垂直的线

可导必连续,连续不一定可导

”图像尖的不可导,光滑可导“

函数的求导法则

高阶导数求导(P71-74)

隐函数、对数及参数方程求导(P75-80)

函数的微分

可微必可导,可导必可微

不要忘了——dx!!

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