信号与系统思维导图

能量无限功率有限

能量有限，功率为0

能量无限功率无限

信号的能量

信号的功率

连续信号是指在时间上连续变化的信号，其在任意时间点上都有定义。例如，模拟信号（如声音、温度、电压等）通常是连续信号。连续信号的特点是可以在任意时间点上取值，其数学表示通常为一个连续的函数。

离散信号是指在时间上只有离散时间点上有定义的信号。换句话说，离散信号只在特定的时间点上取值，而在其他时间点上没有定义。离散信号通常由连续信号通过采样得到。

周期信号是指在时间上呈周期性变化的信号，即信号在某个固定时间间隔后重复出现。周期信号的一个周期内的波形完全相同，其数学表示为x(t)=x(t+T)：，其中 T是周期。

非周期信号是指在时间上不呈周期性变化的信号，即信号不会在固定时间间隔后重复出现。非周期信号的波形在不同时间段内可能完全不同。

定义

公式

定义

公式

将两个或多个信号相加，得到一个新的信号。相加操作可以是瞬时的，也可以是累积的。

如果 x1(t) 和 x2(t) 是两个信号，则相加后的信号为 x(t) 等于 x1(t) 加 x2(t)。

将两个信号逐点相乘，得到一个新的信号。相乘操作可以用于调制和混频。

如果 x1(t) 和 x2(t) 是两个信号，则相乘后的信号为 x(t) 等于 x1(t) 乘以 x2(t)。

对信号进行微分运算，得到信号的瞬时变化率。微分运算可以突出信号的快速变化部分。

如果 x(t) 是原始信号，则微分后的信号为 x(t) 的导数。

对信号进行积分运算，得到信号的累积值。积分运算可以平滑信号，抑制高频噪声。

如果 x(t) 是原始信号，则积分后的信号为 x(t) 的积分。

计算信号在相邻时间点上的差值，得到信号的变化量。差分运算是离散微分的近似。

如果 x[n] 是离散信号，则一阶差分后的信号为 x[n] 减去 x[n-1]。

对信号的时间轴进行平移操作，使信号整体向前或向后移动。

如果 x(t) 是原始信号，则时移后的信号为 x(t - t0)，其中 t0 是时间平移量。

对信号的时间轴进行反转操作，使信号在时间轴上倒过来。

如果 x(t) 是原始信号，则时间反转后的信号为 x(-t)。

对信号的时间轴进行拉伸或压缩操作。通过改变时间变量的尺度，改变信号的时间分布。

如果 x(t) 是原始信号，则时间尺度变换后的信号为 x(a*t)，其中 a 是时间尺度因子。

如果一个信号关于原点对称，则称为奇信号。

对于任意时间 t，奇信号满足 x(t) = -x(-t)。

如果一个信号关于 y 轴对称，则称为偶信号。

对于任意时间 t，偶信号满足 x(t) = x(-t)。

任意信号都可以分解为奇信号和偶信号的和。

如果 x(t) 是原始信号，则其奇偶分解为 x(t) = (x(t) + x(-t))/2 + (x(t) - x(-t))/2，其中第一项是偶信号，第二项是奇信号。

奇信号和偶信号在内积意义下是正交的。

对于奇信号 x(t) 和偶信号 y(t)，其内积为零，即积分从负无穷到正无穷的 x(t) 乘以 y(t) dt 等于零。

x(t) = A * exp(αt)

x(t) = A * exp(-αt) for t >= 0

x(t) = A * exp(-α|t|)

x(t) = A * sin(ωt + φ)

x(t) = A * exp(-αt) * sin(ωt + φ)

x(t)=sin(sin(t))/t

表达式

表达式

表达式

表达式

表达式

δ[n] = 1, n=0; 0, n≠0

在 n = 0 处为 1，其余为 0

u[n] = 1, n>=0; 0, n<0

u[n] - u[n-1] = δ[n]

u[n] - u[n-N] = 1, 0≤n<N; 0, 其他

Σ δ[n-k] = u[n]

u(t) = 1 for t >= 0, 0 其他

u(t) = ∫ δ(t) dt

u(t-t1) - u(t-t2) = ∫[t1, t2] δ(t) dt

δ(t) = du(t)/dt

在 t = 0 处具有无限大值，积分为 1

δ(t) = 0, t≠0

∫ δ(t) dt = 1

乘积特性：h(t) δ(t) = h(0) δ(t)

抽样特性：∫ h(t) δ(t) dt = h(0)

延时抽样：∫ h(t) δ(t-τ) dt = h(τ)

卷积特性：h(t) * δ(t) = h(t)

傅里叶变换：δ(t) = 1

u(t) = ∫ δ(t) dt

系统的输出不仅依赖于当前输入，还依赖于过去的输入。

系统的输出 y(t) 等于函数 f 作用于 a(T)，其中 T 不等于 t。

系统的输出仅依赖于当前输入。

系统的输出 y(t) 仅等于函数 f 作用于当前输入 a(t)。

对于每一个输出，都存在唯一的输入使其产生。

对于每一个输出 y(t)，存在唯一的输入 t 使得系统产生这个输出，即存在唯一的反函数 a^-1(y(t))。

存在某些输出没有唯一的输入对应。

存在某些输出 y(t) 没有唯一的输入 t 对应，即不存在唯一的反函数 a^-1(y(t))。

系统的输出仅依赖于当前和过去的输入，而不依赖于未来的输入。

系统的输出 y(t) 仅依赖于当前和过去的输入 a(t - T)，其中 T 大于等于 0，且不涉及未来的输入。

对于有界输入，系统的输出也是有界的。

如果对于任何有界输入 a(t)，其绝对值小于 M（即 |a(t)| < M），系统的输出 y(t) 也是有界的，即 |y(t)| < N。

系统的特性不随时间变化。

如果对于任意输入 a(t) 和时间偏移 T，系统的响应满足 y(t - T) = f(a(t - T))，则该系统是时不变的。

如果 h[n] 是离散时间 LTI 系统的冲激响应，那么系统的输出 y[n] 对于输入 x[n] 的响应可以表示为卷积：y[n] = x[n] * h[n]