不定积分思维导图

第一类换元法是通过变量替换将复杂积分转化为简单积分的方法。

设有变换式t=φ(x)在区间I上可导，若f(t)存在原函数，则有公式： ∫〖f(φ(x))φ'(x)dx〗=[∫〖f(t)dt〗]| (t=φ(x)) ┤

1.设变换关系u=φ(x)。

2.求出φ'(x)。

3.将f(u)du的不定积分转化为f[φ(x)]φ'(x)的不定积分。

设有变换式x=φ(t)在区间I上可导φ^' (x)≠0，且存在反函数t=φ^(-1) (x)，若函数f(φ(x))φ'(x)有原函数，那么就有换元公式： ∫〖f(x)dx〗=[∫〖f(φ(t))φ'(t)dt〗]| _(t=φ^(-1) (x)) ┤

适用情况：被积函数含有根式且根式内含有二次项时。

常用代换公式：如√a²+x²可用atanθ代替等。

适用情况：被积函数的分母次数显著高于分子时

代换公式： x=1/t

适用情况：含√(ax^2+bx+c)的有理函数积分

定义：根据被积函数中含有的二次根式√(ax^2+bx+c)的a和c的符号，Euler代换可以分为三种代换方式.