《高等数学》思维导图
《高等数学》思维导图是学习高等数学的重要工具，包含了极限、无穷小与无穷大的性质、函数极限、连续与间断、微分、差分、无穷级数和幂级数等内容。极限是重要的基础知识，包含定义与性质、收敛、夹逼准则、方程列、介值定理，函数极限则包含求解方法，如Tylor展开、Lagrange中值定理、无穷小替换、洛必达法则。连续与间断则包含间断类型与判定、导函数的介值定理、零点定理及积分中值定理，微分方程则包含一阶和二阶微分方程，其解的结构和应用，无穷级数则包含数项级数和幂级数的收敛域和收敛半径，以上知识点的掌握，将对学习高等数学相关学科有很大的帮助。
思维导图大纲
《高等数学》思维导图模板大纲
极限
定义与性质
数列极限的意义存在于n充分大时，与任意有限项无关；
函数极限的意义存在于某点去心领域内，与该点本身无关；
局部有界性、局部保号性、唯一性；
保号性与局部有界性常应用于证明题
数列极限收敛则任意子列收敛，且极限等于原数列极限
X2n和X2n+1都收敛于同一极限，则Xn收敛
若存在两个子列收敛于不同极限，则原数列发散
无穷小与无穷大的性质
分式极限存在的条件
等价无穷小的替换
吸收定理
极限的存在性与极限值计算
数列极限
n项和极限
转化为定积分定义，计算定积分
夹逼准则（放缩法）
裂项相消（特别适用于分母有Xn的极限）
将常数看做x，计算幂级数的和函数再代入该值
Xn+1=f(Xn)
f'(x)>0,数列单调
单调有界准则
做差或做商，利用题目条件或函数本身的大小关系
出现X0、X1等可使用数学归纳法证明Xn的有界性
f'(x)<0,数列震荡0
定义法，即证明lim|x-a|=
一般用函数代替Xn+1与Xn
可利用lagrange中值定理（利用导数性质）
找到k<1，进行压缩映像操作
方程列
利用函数性质计算（海涅定理）
函数极限
Tylor展开
Lagrange中值定理
无穷小替换（实质上还是Tylor展开）
洛必达法则（注意使用条件）
连续与间断
连续的定义与极限存在定义的区别
连续则极限必存在，极限存在且等于函数值才连续
连续函数的性质
有界性
存在最大值与最小值
闭区间内连续必存在最值
开区间内连续不一定存在最值，即不存在值域
介值定理
多与taylor展开相结合
导函数的介值定理不需要连续条件，只需要原函数在区间内可导
零点定理
导函数零点定理的推论，若导函数在开区间内无零点，则函数在开区间内单调
积分中值定理
第一积分中值定理
间断类型与判定
第一类间断（极限存在）
跳跃间断（两边极限不相等）
导函数不存在跳跃间断点
可去间断（两边极限相等但不等于该点函数值）
第二类间断（极限不存在）
无穷间断，带来铅直渐近线
震荡间断（不考）
利用连续或间断判定参数
微分方程
一阶微分方程
变量可分离
齐次性
一阶线性微分方程
首次积分型
带变限积分的微分方程
二阶微分方程
二阶线性齐次微分方程
二阶线性非齐次微分方程
通解=对应的齐次解加特解
特解的结构
当自由项为一般多项式，即第一种情况下a=0的情况
微分方程解的结构
差分方程
一阶差分
定义
计算
齐次解
非齐次解
二阶差分
定义
计算
消项变为一阶差分方程，再用一阶差分方程求解法
用特征方程求解（即相似于二阶微分方程）
微分方程的应用（求解函数解析式的工具）
求原函数
求幂级数的解析式
偏微分方程
由二元函数的偏导数求解其原函数解析式
此时积分出的常数c要改为另一变量的某一函数
无穷级数
数项级数
数项级数的定义与性质
定义
某一数列的无穷项相加，且通项为常数
性质
线性性质
加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，但会改变级数的和
在原级数收敛的条件下，不改变其项的次序任意加括号，得到的新级数同样收敛
审敛
必要条件：lim un=0，un有界
充分必要条件：部分和数列{Sn}的极限存在
正项级数
充分必要条件：部分和数列{Sn}有上界（一般用于证明抽象数列的级数敛散性）
达朗贝尔审敛法
柯西审敛法
根值法
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
交错级数
莱布尼兹审敛法
任意项级数
先加绝对值变为正项级数，判断是否绝对收敛
非绝对收敛，判断其是否为交错级数，若是则使用莱布尼兹审敛法，若不是基本不收敛，找反例或用定义
计算数项级数的和
将常数改为x，求和函数再代入数值
幂级数
幂级数的收敛区间与收敛域
幂级数的收敛半径实际上只有三种，0、1、无穷。
达朗贝尔法（实际上就是正项级数的审敛法）
根值法
求和函数
子型级数
分式函数
母型级数
对数函数
阶乘型级数
指数函数与三角函数
常见幂级数的和函数
幂级数展开
幂级数的应用
微分方程与幂级数的综合题
极限与幂级数的综合题
相关思维导图模板
树图思维导图提供 考研数学高等数学占比多少分？数一至数三各不同 在线思维导图免费制作，点击“编辑”按钮，可对 考研数学高等数学占比多少分？数一至数三各不同 进行在线思维导图编辑，本思维导图属于思维导图模板主题，文件编号是：e47edb3dc07801004dbc40ff1ad4b2f6
沪公网安备 31011502019485号
上海工商