《高等数学》一元微分学思维导图
《高等数学》一元微分学思维导图包含很多重要的内容，比如连续性概念，导数计算，中值定理，需要了解一些概念，f(x)连续时，|f(x)|也连续，f(x)在x=a处可导时，f(a)=0，|f(x)|x=a处可导，若x=a处可导，则要遵循不可跨的原则、保双侧的原则、阶相同的原则和可微的原则。对于导数计算，有显函数、隐函数、参数方程、变积分限函数和分段函数，高阶求导时，常用归纳法、公式法和麦克劳林法来处理，在中值定理中，有拉格朗日、罗尔、柯西和泰勒类型，需要注意选点、选定理和求解问题的方法，还有一些其他知识点，如弧微分公式、曲率和曲率半径，需要我们掌握。
思维导图大纲
《高等数学》一元微分学思维导图模板大纲
概念：
f(x)连续=>|f(x)|连续
反过来的反例是有理数=1，无理数=-1
f(x)在x=a处可导
f(a) = 0 =>|f(x)|在x=a处可导
否则
f'(a)=0 =>|f(x)|在x=a处可导
不等0 =>|f(x)|在x=a处不可导
x=a处可导性
不可跨
保双侧
阶相同
可微
求导
显函数
隐函数
参数方程
变积分限函数
分段函数
高阶
归纳法
公式法
麦克劳林
奇（偶）函数的麦克劳林的偶（奇）次项全为0
中值定理
罗尔
拉格朗日
柯西（要证）
泰勒
型一：θ问题
f(b)-f(a) = f'[a+θ(b-a)](b-a) (0<θ<1)
f(x) = Pn(x) + f^(n+1)[x0+θ(x-x0)]*(x-x0)^n+1 / (n+1)! (0<θ<1)
∫abf(x)dx = f[a +θ(b-1)](b-a) (0≤θ≤1)
两大原则
f(x)已知=>求出θ
f(x)抽象=>不求θ
型二：泰勒证明
点的选取
x0选取标准
出现f'(c)： x0 =c
中点
x选取标准
f(a)（无f'(a)）
端点
任意点
定理选择
拉格朗日（平等）
f(a), f(c), f(b)
f'(a), f'(c), f'(b)
泰勒（不等）
如f(a), f'(c), f(b)
已知点少时
型三：二阶保号（f''(x)>0(<0)）
f''>0 => f' 单调递增
f''>0 => 凹
证明用到泰勒展开
型四：f^(n)( ζ )= 0
罗尔，找两点相等
型五：拉格朗日常规
f(a) - f(b)
f(a), f(b), f(c)
f =>(向f'靠) f'
拉格朗日 φ(x) = 曲 - 直
牛顿莱布尼兹
型六：有a，b，ζ
a，b和ζ可分开
分开之后从a，b下手
拉格朗日或者柯西
a，b和ζ不可分——凑微分
ζ->x，改成变限积分函数，找2点
去分母，移项 => 式子= 0 => （φ(x)）
型七：仅有ζ
还原法
构造辅助函数：[ln f(x)]' = f'(x)/f(x)
f' + kf => e^(kx) f(x)
ζf' + kf => x^k f(x)
分组法
无法直接还原，用f(x)凑出新的可还原的g(x)
凑微法
导数差2阶
fg''
g'/2
(fg')' = f'g' + fg''
型八：含多个中值
仅f'(ζ), f'(η) （找3点）
η，ζ 复杂程度不同
留复杂
(..)' ——拉格朗日
(..)'/(..)' ——柯西
η，ζ 都复杂，且对等
极值
型一：极值点
型二：不等式证明
单调法（去分母，移项，b换成x）
中值定理 （f->f'）
凹凸法
最值法
型三：方程点解，函数零点
零点定理
罗尔定理
单调法
其他
凹凸
渐近线
水平：limx->∞ f(x) = A —— y=A
铅直：f(a)的左右极限至少有一个为无穷大，——x=a
斜：lim x->∞ f(x)/x=a，limx->∞ [f(x)-ax] =b ——y=ax+b
弧微分
(Δs)^2 = (Δx)^2 + (Δy)^2
(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2
L: y = f(x)
ds =√(1+(f'(x)^2) dx
L:x = φ(t), y = ψ(t)
ds = √((ψ'(t))^2 + (φ'(t))^2) dt
曲率
K = |y''|/(1+y'^2)^3/2
曲率半径 p = 1/k
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