2023年考研高等数学冲刺阶段重难点分析！学姐整理思维导图

(1)函数极限的计算：七种未定式的计算，四则运算、泰勒公式、洛必达法则、对数恒等式、等价无穷小替换、单侧极限等方法的使用；

(2)数列极限的计算：定积分定义、夹逼准则、直接计算、单调有界收敛准则。

（1）数列极限中利用夹逼准则和定积分定义求和式极限；

（2）利用单调有界收敛准则证明数列极限存在；

（3）极限性质和收敛性的讨论。

（1）解方程：可分离变量的微分方程、二阶（高阶）常系数线性微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程（数一数二）；

（2）理解线性微分方程解的性质及解的结构；

（3）微分方程的应用：利用微分学和积分学知识列出微分方程并求解。

（1）求解伯努利方程和欧拉方程（数一）；

（2）利用物理知识列方程（数一数二）。

（1）多元函数导数的计算：复合函数和隐函数求偏导数，全微分的计算；

（2）一元函数导数的计算：初等函数（含幂指函数）、变限积分、隐函数、参数方程（数一、数二）、抽象函数、高阶导数等导数的计算。

高阶导数计算、变限积分求导、多元函数中抽象复合函数的偏导数计算。

(1)连续的定义和判断间断点；

(2)导数的定义与微分

(3)讨论多元函数的极限、连续性、偏导性和可微性及其相互关系；

(4)求曲线的水平、铅直和斜渐近线；

多元函数可微性的判断；分段函数和抽象函数可导性的讨论。

1）几何应用：平面曲线的切线和法线；曲率和曲率半径的计算，理解曲率圆（数一数二）；

2）物理应用（数一和数二）：变化率；3）经济学应用（数三）：边际和弹性的概念、计算和经济学意义；

4）单调性和凹凸性：利用导数判断函数的单调性和凹凸性；理解凹凸性的几何意义；

5）极值和拐点：利用导数判断函数的极值点和拐点，掌握判断的必要条件和充分条件；理解极值点和拐点的关系；

6）最值：利用导数求解函数的最大值和最小值，最值在相关实际问题中应用。

1）多元函数极值：利用必要条件和充分条件求二元函数的极值；用拉格朗日乘数法求条件极值；求简单多元函数的最大值和最小值；

2）方向导数和梯度（数一）：计算方向导数和梯度，理解二者之间的关系。

3）空间解析几何中的应用（数一）：空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

导数的物理应用；凹凸性的几何意义；条件极值的计算。

（1）二重积分：利用直角坐标和极坐标计算二重积分。

(2)不定积分：掌握两类换元法和分部积分法；会求有理函数、三角有理式、指数有理式、根式等不定积分；

二重积分中值定理的使用；反常积分的计算和收敛性的判别。

几何应用平面图形的面积；平面曲线的弧长（数一数二）；旋转曲面的面积（数一数二）；旋转体的体积。

（1）微元法的基本思想和部分公式的理解和记忆；

（2）物理应用（数一数二）：计算质量、变力做工、质心、形心、静压力、转动惯量等。

（1）利用直角坐标和求坐标计算三重积分；

（2）会利用直接带入法（化为定积分）计算第一类曲线积分；

（3）会利用直接代入法（化为定积分）直接计算第二类曲线积分，利用格力公式计算第二类曲线积分；利用斯托克斯公式计算三维的第二类曲线积分；掌握曲线积分与路径无关的条件，求二元函数全微分的原函数

（4）会利用直接带入法（化为二重积分）计算第一类曲面积分；

（5）会利用直接投影法、转换投影法、高斯公式计算第二类曲面积分。

格林公式的使用；积分与路径无关的理解及相关计算；转换投影法和高斯公式的使用；散度与旋度的计算及公式的记忆。

（1）常数项级数：利用级数收敛的性质和比较判别法、根值比值判别法判断正项级数的敛散性，用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性；

（2）幂级数：计算级数的收敛半径和收敛域；求幂级数的和函数；将函数展开成幂级数。

抽象级数敛散性的证明；抽象级数和函数的求解；傅里叶级数的计算和狄利克雷收敛定理。

（1）不等式证明：利用单调性凹凸性证明不等式；

（2）中值定理：利用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、柯西中值定理证明相关结论；

（3）零点问题：利用单调性、零点定理和罗尔定理等判断函数零点问题。

定理的理解及其使用范围、辅助函数的构造，泰勒中值定理的使用。

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