《高等数学》多元积分学思维导图
《高等数学》多元积分学
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思维导图大纲
《高等数学》多元积分学思维导图模板大纲
概念
极限
连续
偏导数
可(全)微
二重积分
积分法
直角坐标系
投影，找范围
分成上下两曲线
极坐标法
边界函数有 x^2+y^2
f中含有x^+y^2
步骤
x=cost, y=sint; da= rdrdt
找出t范围，找出r范围
题型
交换积分次序
题型
题目要求
极坐标和直角坐标互换
积分积不出来
次序错
方法错（极直）
典型积不出来函数：
e^(x/k)dx
x^(2n)*e^(士x^2)dx
cos(1/x)dx
sin(1/x)dx
一般做法
画图
向新方向投影
计算题
性质和积分法
三重积分∫∫∫(Ω) fdv
直角坐标法（直角坐标系）
铅直投影法
投影一个面到一个平面，并找出该面范围D
分成上下两个曲面，分别写出表达式∑1和∑2
Ω = （如投影到xoy）
(x,y)属于Dxy
z1≤ z < z2
∫∫∫(Ω)fdv = ∫∫(Dxy)dxdy∫(上z2(x,y)，下z1(x,y))f(x,y,z)dz
切片法（均匀变化）
用xoy或yoz或xoz平面切割使得分成一小片面积元素Dz
omega =（xoy）
（x,y）属于Dz
c≤ z ≤d
∫∫∫(Ω)fdv = ∫(上d下c)dz∫∫f(x,y,z)dxdy
柱面坐标法（必须用铅直投影法）（极坐标系）
特征
Ω边界含有x2+y2
f中有x2+y2
变换
x=rcost
y=rsint
z=z
找出a≤t≤ß, r1(t)≤r≤r2(t)
fine1(rcost,rsint)≤z≤fine2(rcost,rsint)
dv=rdrdtdz
球面坐标法
特征
Ω边界含x2+y2+z2
f也
曲线积分∫Lf(x,y)ds
第一类，对弧长
性质
计算法
L: y=y(x) a≤x≤b
∫Lf(x,y)ds=∫(上b,下a)f(x,y(x))√(1+y'(x)^2)
f(x,y)其实就是由x决定的，伪二元
第二类，对坐标
二维
方法一
定积分法
case1
case2
方法二
格林公式
单连通的题一般是补
先把L+BA用格林公式化成二重积分然后算出
再把AB单独用方法一求
多连通一般是挖
挖：
某点🙅：有Q和P中有分母
在那点挖一个小圆，方向为顺时针L0，L0全在L里面，r>0
可用格林公式的积分：
若发现dQ/dx和dP/dy相等（消去预警）
则：L0有个特点是可以消去原来的分母
分母被消去就可以再次格林
方法三
与路径无关
D是平面单连通区域，PQ连续且有一节连续偏导数
三维
方法一：定积分法（只能用参数式）
方法二：Stokes公式
注意三个角度的（法向量）方向要和正向一致
曲面积分
对面积曲面积分
形心
密度P均连续
f中z是由x，y决定的，其实就是伪三元
把f理解成密度比较好理解
解题步骤
二重积分法
空间曲面的面积
对坐标的曲面积分
方法一：二重积分法（“线切面法”）
步骤
方法二：高斯公式
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