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《高等数学》笔记思维导图

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《高等数学》思维导图思维导图包含了重要的内容,其中第一讲包含了五种不同的极限类型和连续与间断相关内容,第二讲涵盖了微分方程的不同类型,如一阶、可分离和一阶齐次线性,和高阶线性微分方程的解题步骤,第三讲包含到常数项级数的性质和判断级数敛散的方法,包含审敛法、比较法和交错级数,同时还介绍了幂级数和傅里叶级数展开的相关概念和技巧,文中也提及了解题时可能会用到的极限性质、定义、保号性等。

思维导图大纲

《高等数学》笔记思维导图模板大纲

第一讲

极限

型一:夹逼定理以及n项和或积的极限

定积分应用

型二:单调有界数列必有极限

型三:变限积分函数的极限

型四:不定型

0/0,1^∞

∞/∞,0*∞,∞-∞,∞^0,0^0

型五:杂项

手法看情况

连续与间断

型一:间断点和分类

第二讲

微分方程

一阶

可分离(形式以及通解公式,下同)

齐次

一阶齐次线性

一阶非齐次线性

都不是

x<=>y ----> x=x(y)

可能会用到除上面的知识外:反函数求导

可降阶

缺y

缺x

高阶线性

预备

n阶齐次线性D.E.为(*),非齐次为(**),如果f(X)为两个函数只和,则有

若φ1(x),φ2(x).....φs(x)为(*)的解,那么有其线性组合也是(*)的解(充要条件)

若k1φ1(x)+k2φ2(x)+.....+ksφs(x)为(**)的解,那么有K1+...+Ks=1(充要条件)

二阶常系数齐次

背下解题步骤

三阶常系数齐次

解题步骤

二阶非齐次

型一:多项式乘指数函数

型二:含有三角函数

特解

是特征值:

不是特征值:

第三讲

常数项级数

性质

相加减

k倍

添加、改变、减少有限项,级数敛散性不变

添括号提高敛散性,反推不成立(用调和级数证)

级数收敛,通项在n趋于无穷时趋于0

两个参照

1/n的p次方

证调和级数发散(思想重要)

a乘q的n次方

正项级数

关于部分和

审敛法

比较法

基本形式:大收小也收,小散大也散

定理一(其实就是通项趋于0)

比值法(一般处理含阶乘)

定理二

根植法

定理三

积分法(一般出现ln)

定理四

交错级数

判别法—莱布尼兹法

和函数法(结合幂级数求和函数部分)

碰到给出一个常数项级数,直接问你等于多少

第一步:构造S(X),常数项级数为S(1/2)

第二部:利用幂级数知识求S(X)

绝对、条件收敛

本身收敛,加绝对值后发散

本身收敛,加绝对值后收敛

补充

收士收=收

发士发=?

收士发=发

一个级数敛散性与前有限项无关

添括号+收敛性

绝对值+发散性

解题往往会用到极限性质(定义、保号性等等)

平方会破坏交错,an收,an^ 2不一定收,若an大于等于0,就收

幂级数

定义

收敛半径、收敛域

性质

定理一:逐项可导性

定理二:逐项可积性

Notes

anX^n在X0处条件收敛

达朗贝审敛法

f(x)展开成级数

方法一:直接法

方法二:间接法—一般是化成有理函数

例子1

例子2

求和函数S(X)——公式1~7、2个逐项、微分方程

第一步求R,求两点

第二步选case

case1

case2,6、7靠不上就消灭分母

case3,123靠不上就微分方程

傅里叶级数

狄利克雷收敛性定理(背且字后面的公式)

周期为2L的函数的傅里叶展开(“~”:展开为,背下面)

[-L,L]上f(X)的展开

[-L,L]上f(X)是奇/偶的展开(f(x)为奇/偶函数)

奇->正弦,偶->余弦

[0,L]上f(X)展开正弦或者余弦

奇延拓-f(-x),以补充范围

偶延拓,f(-x),同样地

定积分中一个点的位置不影响结果

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