矩阵思维脑图思维导图

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(kx)=kf(y)

封闭的集合

双集合

零多项式

零次多项式

一元多项式环

在数域K上所有n阶矩阵组成的集合

f(x)=q(x)|g(x)

f(x)|g(x)且f(x)|g(x)

必有c使得f(x)=cg(x)

一组必过原点的直线

几何意义

功能

增广矩阵

点积后相加

齐次线性方程组

非齐次方程组

矩阵经过线性变换后体积或面积的缩放倍率

面积或体积

初等变换保证同解变换

相同解则称为矩阵等价

性质

数乘k后增加k倍

必须是方阵

换行后值变符号

组(list)中的元素是有次序的

集合中元素无次序

在R3中(0,3,1)，(0,1,0)是长度为2的组

F是R(实数)

F是C(复数)

加法

数乘（纯量积）和加法

加法封闭性

乘法封闭性

非空

矩阵

n维向量空间

多项式

实变量函数

是二元函数f(x,y)

f中的x,y两个位置都满组可加性+比例性

不要求位置对齐，是笛卡尔积

不是子集的交

各子集元素的组合（所有可能）

从线性空间不太关注子集的和，性质不好，没啥用

0∈U

加法封闭性：x,y∈U,必须x+y∈U

标量乘法封闭性x∈U，必须a*x∈U

两个子空间的交仍是子空间

发现两个子空间中元素相加居然仍是子空间

U+W还是包含U、W的最小子空间

U+W还是既包含U又包含W的最大子空间

dimV+dimW=dim(V+W)+dim(V∩W)

限定为有限维子空间

0向量

过原点直线

过原点平面

R3自身

子集属于集合，子空间是约束条件更多的特殊子集

子空间例子

子空间不要求运算后的结果仍在自身内，只要求结果仍满足3条

定义

被算子映射到自身

在子空间的基础上加上一个变换𝓐

一维不变子空间𝓐x = xλ

多维不变子空间表现为矩阵三角化

例子

比子空间又多了一个“唯一表示其他元素”的功能

例如（x,y,0）+(0,0,z)

验证0是否可由多个线性组合生成

每个元素u必须是0才能表示成0=u1+u2+...+um

A∩B={0}

表明两个子空间“有且只有“一个共同的元素0

不能有其他共同元素了

A∩B={0}且A∩C={0}且B∩C={0}

任意两个子空间“有且只有“一个共同的元素0

有很多种取法

线性组合

该组向量的所有线性组合的集合

由于取法不同张成的空间也不同

β如果在子空间内就能线性表出，否则不能表出

β如果在子空间内非齐次方程组有解

两个向量组能够相互线性表出

极大线性无关组都能相互线性表出

一个平面可由非共线的两条直线决定

先找直线共线条件:线性相关

反证法找非共线条件:线性不相关

推广到抽象

构造线性方程组求解+反证法

dim=n，n+1维向量组必然线性相关

两个条件

秩：极大线性无关部分组的向量个数

极大线性无关组不一定唯一，但他们等价

找它的思路：再额外添加一个立刻就线性相关了

0向量线性相关

非零向量线性无关

行列式

齐次线性方程组

线性表出

线性组合

向量组与部分组

向量组与延伸组、缩短组

S是部分组且线性无关，任取b是剩下的一个向量，S∪{b}线性相关

针对的是线性空间

可以和基互相推导

齐次方程组的一组解

这组向量使得A变换成0

B的0向量在A的原像

Ax=0

把A看出一种映射，映射后的值域

A的列向量张成的所有可能向量，x不过是系数罢了

“非零子式”的“最高”+“阶数”

r阶子式不为零，r+1阶全为零

行满秩

列满秩

若方阵满秩

自身是极大+线性无关

能表示其他所有人

基不一定只有一组

矩阵消元求秩

|A|行列式是否为零

前提条件子空间的维数r<n

子空间的基不是母空间的基，不能完全标表出n+1向量

所以在n+1空间内存在基

以此类推

矩阵属于白箱

线性映射属于黑箱

有限维

无限维

任取一个f，把V的基映射成f(α1),f(α2)...

线性映射𝓐在同一个空间下用不同的基表示称为相似

一个有内积性质线性映射𝓐在同一个空间下用不同的基表示称为合同

保角度、保长度

定义

性质

迹相等

行列式相等

秩相等

对角线上的值恰好就是特征值

有重根“不一定”能对角化

代数重度(重根数)=几何重度(矩阵A-λE的零空间的维数)

代数重度

可能=0

不能0

几何重度

几何意义

某矩阵能不能对角化？充要条件

把特征向量作为的基的好处

每个系数是n阶层主子式

推导

惯性指数相同判断是否合同只在两个都是实对称矩阵时适用

对称矩阵合同变换后仍是对称矩阵

定义

性质

两个实对称AB相似，则一定有AB合同关系

正定矩阵

转置+共轭=自身

半线性

实线性组合仍是对称矩阵

AB是hermite矩阵当且仅当A与B可交换

一次项不影响形状，一般只影响位置

所以重点关注二次项

化斜椭圆为正椭圆

减少交叉项

可逆线性变化

正交变换

合同化（实对称）

只针对标准二次型

惯性系数

惯性定理

不包括域论下的除法因为多项式除法不封闭于环中

相除后的结果不一定仍是多项式

矩阵初等变换中的某行乘以k后加到另一行不一定可逆

类似于逆矩阵的概念，但和逆矩阵不完全相同

充要条件

smith标准型

V是线性空间，VXV→F的映射

f(k1α1+k2α2,β)=k1f(α1,β)+k2f(α2,β)

f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k2f(α,β2)

得到一批关于β的线性函数

∑∑xiyif(基,基)

先求出基的函数值就行了，任意向量只要用坐标乘以该值

p-范数、闵可夫斯基范数

x.x≥0

x.x=0当且仅当x=0

x.y=y.x

必存在

定义

性质

两个视角看待酉矩阵

某项级数和整个函数内积后，把其他项都过滤掉了，只留下关于自己和自己的内积

避免包含其它分类的大线性方程组

与子空间w中任意向量都正交的向量集合

前提条件

α是个向量

求的的距离d只能是个正实数

α=arg min d(β,w) w∈W

β是已知的、固定的

存在

唯一

它到β的距离最小

本质是左乘行变换

笛卡尔积V1XV2X...Vr映射到W

每个V中可以取不同的基，不同基的组合不同，最终效果不同

唯一性

存在性

行列式𝓐