高等数学-极限思维导图
高等数学-极限思维导图中包含极限的定义、数列极限、函数极限的定义，和他们之间的关系和相应的判别方法，其中数列极限的基本性质包含极限唯一性、收敛数列的有界性和保号性，和数列的子数列也必须收敛于同一个极限，函数极限的基本性质包含极限唯一性、局部有界性、保号性，和和数列极限的关系，关于极限的判别方法，包含单调有界定律和夹迫定律，这些知识点是深入理解高等数学中极限概念的核心内容。
思维导图大纲
高等数学——极限思维导图模板大纲
极限的定义
数列极限的定义
对于数列{}，常数a，若对ε>0，正整数N，有|-a|<ε，则称a为{}的极限，或{}收敛于a
当x→∞时，f(x)的极限
若存在常数A，ε>0，正数X，当|x|>X时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→∞的极限
当x→时（为有限值），f(x)的极限
若存在常数A，ε>0，δ>0，当0<|x-|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→的极限
当x→时（为有限值），f(x)的左右极限
右极限
若存在常数A，ε>0，δ>0，当0<x-<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→时的右极限 或
左极限
若存在常数A，ε>0，δ>0，当0<-x<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A为f(x)当x→时的左极限 或
无穷小量与无穷大量
无穷值
无穷小量
如果（x→或x→∞），那么称函数f(x)为（当x→或x→∞时的）无穷小量
无穷大量
如果（x→或x→∞），那么称函数f(x)为（当x→或x→∞时的）无穷大量
性质
性质1
⇔A+α(x)，其中α(x)是（x→或x→∞）无穷小量
性质2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量
有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量
无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量
无穷小量的比较
设在自变量x的同一变化过程中（如x→或x→∞），α(x)，β(x)都是无穷小
如果，则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记作α(x)=o(β(x))
如果，则称α(x)是β(x)的低阶无穷小
如果（c≠0），则称α(x)是β(x)的同阶无穷小
如果，则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记作α(x)~β(x)
如果（c≠0），则称α(x)是β(x)的k阶无穷小
等价无穷小替换定理
设在自变量x的同一变化过程中，，，，都是无穷小，而且，， 如果，则
当x→0时
sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ~ ~ x
1-cos x ~ x²
-1 ~ x
-1 ~ mx
数列极限的基本性质
极限的唯一性
如果{}收敛，那么它的极限唯一
收敛数列的有界性
如果{}收敛，那么{}一定有界
收敛数列的保号性
如果，且a>0（或a<0），那么正整数N，当n>N时，都有<0（或<0）
推论
如果，，且a>b，那么正整数N，当n>N时，>
如果正整数N，当n>N时，≥0（或≤0），，那么a≥0（a≤0）
收敛数列与其子数列间的关系
如果{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a
极限的四则运算
如果，存在，且，，则有
（B≠0）
（A>0）
函数极限的基本性质
极限的唯一性
如果，，那么A=B
函数极限的局部有界性
如果，那么δ>0，f(x)在{x|0<|x-|<δ}内有界
函数极限的局部保号性
如果，而且A>0（或A<0），那么常数δ>0，当0<|x-|<δ时，有f(x)>0（或f(x)<0） 如果在的某空心邻域内f(x)≥0（或f(x)≤0），而且，那么A≥0（或A≤0）
函数极限与数列极限的关系
如果存在，{}为f(x)定义域内任一收敛于的数列，且满足≠，那么{f()} 必收敛，且
符合函数的极限
设y=f(u)在点u=a处连续，有，则
极限存在的判别方法
单调有界定律
单调增加（减小）且有上界（下界）的数列{}必有极限
夹迫定律
如果数列{}，{}，{}满足条件：<<(n=1,2,...)，，， 那么数列{}的极限存在，且
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