数学分析思维导图
数学分析思维导图包含了各种数列极限性质，如唯一性、有界性、保号性、迫敛性、保不等式性，函数相关知识，如函数的定义，复合函数与反函数，初等函数、连续性、导数与微分、定积分与反常积分，一些数学定理与应用，如柯西中值定理、洛必达法则、牛顿莱布尼兹公式、积分第一中值定理、定积分换元积分法与分部积分法，出的一些概念或定理，如无穷小量、无穷大量、斜渐近线、垂直渐近线、单调有界定理、柯西收敛准则、狄利克雷判别法、啊贝尔判别法也是重要的知识点。
思维导图大纲
数学分析思维导图模板大纲
数列极限
数列极限的定义
对于数列{An}，常数a，若对ε>0，正整数N，有|An-a|<ε，则称a为{An}的极限，或{An}收敛于a
收敛数列的性质
唯一性
如果数列收敛，那么它的极限唯一
有界性
如果数列收敛，那么该数列一定有界
保号性
如果，极限存在且极限a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有数列中每个数<0（或<0）
迫敛性
limAn=limBn=a，An≤Cn≤Bn，则limCn=a（n趋于无穷）
保不等式性
An≤Bn，则limAn≤limBn(n趋于无穷)
四则运算法则
lim（An±Bn）=limAn±limBn （n趋于无穷）
lim（An.Bn）=limAn.limBn （n趋于无穷）
数列极限的存在条件
单调有界定理
单调增加（减小）且有上界（下界）的数列{An}必有极限
致密性定理
如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a
柯西收敛准则
|An-Am|<
实数集与函数
实数
性质
有理数和无理数统称为实数
加、减、乘、除四则运算封闭
有序性
大小关系具有传递性
阿基米德性
稠密性
绝对值与不等式
三角形不等式
确界原理
区间与邻域
开区间、闭区间、半开半闭区间
左邻域、右邻域、空心邻域
确界原理
有界集
上界/上确界
下界/下确界
非空子集有上界，必有上确界/有下界，必有 下确界
函数概念
函数的定义
定义域（存在域）、值域、自变量、因变量
单值函数、多值函数
复合函数
y=f（g（x））为f和g的复合函数，f为外函数，g为内函数
反函数
一一对应
原函数与反函数单调性相同
原函数与反函数图像关于y=x对称
原函数的定义域为反函数的值域，值域为反函数的定义域
初等函数
常量函数
y=c（c为常数）
幂函数
y=x^a(a为实数)
指数函数
y=a^x（a>0,a≠1）
对数函数
y=logaX（a>0，a≠1）
三角函数
y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx
反三角函数
y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx
有特性的函数
有界函数
上界
下界
单调函数
单增
单减
奇函数和偶函数
周期函数
函数极限
函数极限的概念
定义
|f(x)-A|=
x趋于x0时函数的极限
右极限
左极限
函数极限的性质
唯一性
函数极限存在，此极限是唯一的
局部有界性
函数极限存在，函数在某空心邻域上有界
保不等式性
f(x)≤g（x），则f（x）的极限≤g（x）的极限
迫敛性
f（x）与g（x）的极限都为A，且f（x）≤h（x）≤g（x），则h（x）的极限也为A
局部保号性
极限A>0,则对任何正数r<A,有f(x)>r>0
四则运算法则
函数极限存在的条件
归结原则
单调有界定理
柯西准则
两个重要极限
0/0型
（1+0）的无穷次方型
无穷小量与无穷大量
无穷小量
定义
在某邻域中，f（x）的极限等于0
性质
两个相同类型的无穷小量之和、差、积仍为无穷小量
无穷小量与有界量的乘积为无穷小量
阶的比较
高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
无穷大量
定义
函数f在某邻域上的极限为非正常极限
曲线的渐进线
斜渐近线
垂直渐近线
函数的连续性
概念
f（x）的极限等于f（x0）当x趋于x0
间断点
第一类间断点
可去间断点、跳跃间断点
左右极限存在但不相等
第二类间断点
至少有一侧极限不存在
性质
局部有界性
局部保号性
四则运算
有界性
最值性
介值性
初等函数的连续性
任何初等函数都是其定义区间上的连续函数
微分中值定理及其应用
罗尔中值定理
f在闭区间[a，b]上连续
f在开区间（a，b）上可导
f（a）=f（b）
拉格朗日中值定理
f在闭区间[a，b]上连续
f在开区间（a，b）上可导
单调函数
函数导数≥0（≤0），原函数单调递增（减）
达布定理
柯西中值定理
f和g满足：在[a，b]上都连续，在（a，b）上都可导，f（x）与g（x）导函数不同时为零，g（a）≠g（b）
洛必达法则
0/0型不定式极限
c/∞型不定式极限
泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余项的泰勒公式
函数最大、小值，凸性与拐点
不定积分
定义
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记为∫f（x）dx
换元积分法和分部积分法
有理函数的不定积分和三角函数有理式的不定积分
定积分的应用
平面图形的面积
由平行截面面积求体积
平面曲线的弧长与曲率
旋转曲面的面积
微元法
导数和微分
导数概念
y=f（x）在x0的某邻域内有定义，其极限为x0点切线的斜率
求导法则
增量法
反函数的导数
复合函数的导数
高阶导数
莱布尼兹公式
微分
可导一定可微
定积分
定义
曲边梯形面积S
可积条件
可积必有界
可积准则
f为[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上可积
f是区间[a，b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在区间[a，b]上可积
f是区间[a，b]上的单调函数，则f在[a，b]上可积
性质
在区间[a，b]上，f可积，kf也可积（k为常数）
在区间[a，b]上，f与g都可积，f±g也可积
在区间[a，b]上，f与g都可积，fg也可积
积分区间的可加性
积分的不等式性
f与g为[a，b]上的两个可积函数，f（x）≤g（x），则有f（x）的不定积分≤g（x）的不定积分
牛顿莱布尼兹公式
积分第一中值定理
f在[a，b]上连续，则至少存在一点r∈[a，b]使得f（x）的不定积分=f（r）（b-a）
变限积分与原函数的存在性
原函数存在定理
积分第二中值定理
定积分换元积分法与分部积分法
泰勒公式的积分型余项
柯西型余项
反常积分
概念
无穷区间上的“积分”，无界函数的“积分”
无穷限反常积分
瑕积分
无穷积分的性质
无穷积分收敛的柯西准则
敛散判别法
柯西判别法
狄利克雷判别法
啊贝尔判别法
瑕积分
在（a，b）上至少有一点r，使得f（r）导数=0思维导图模板大纲
在（a，b）上至少有一点r，使得f（r）导数=f（b）-f（a）/b-a思维导图模板大纲
存在r∈（a，b），f（r）的导数比g（r）的导数等于f（b）-f（a）/g（b）-g（a）思维导图模板大纲
相关思维导图模板
树图思维导图提供 高二数学复习方法：数学重在培养分析判断 在线思维导图免费制作，点击“编辑”按钮，可对 高二数学复习方法：数学重在培养分析判断 进行在线思维导图编辑，本思维导图属于思维导图模板主题，文件编号是：fc7812a9c6b8ac2f21418ed58736e0b6
树图思维导图提供 高一数学学习方法：数学笔记误区分析 在线思维导图免费制作，点击“编辑”按钮，可对 高一数学学习方法：数学笔记误区分析 进行在线思维导图编辑，本思维导图属于思维导图模板主题，文件编号是：621c7d371ce13813c4b5276682ab8b55
沪公网安备 31011502019485号
上海工商