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2008高考数学数列专题热点复习指导思维导图

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2008高考数学数列专题热点复习指导思维导图是张鼎言老师编写的复习模板,基础题包含了等差、等比数列的相关知识点,和数列问题中的一般到特殊的思考方法。首先是解决等差数列问题,其中要注意首项a₁的正负性和等差d的正负关系,通过判断a₂₀₀₃+a₂₀₀₄的正负和a₂₀₀₃·a₂₀₀₄的值来确定符合前n项和Sn>0的最大自然数n。其次是解决两个等差数列的问题,通过设定前n项和An和Bn,和两个等式an=An-An₋₁和bn=Bn-Bn₋₁/,求整数n的个数,最后是解决等差数列和其他数列的组合问题,通过设定数列cn=-(n∈N*),来求得数列cn的前10项和,这个模板的知识点涵盖了高考数学数列专题中的重要内容,对于复习和准备考试非常有帮助。

思维导图大纲

2008高考数学数列专题热点复习指导思维导图模板大纲

天津市第四十二中学 张鼎言

(一)基础题

复习导引:数列是定义在正整数集或正整数子集上的函数,函数的图象是平面直角坐标系上的点集。项an是n的函数,同数Sn也是n的函数,af(n)是复合函数,如下面的第2、3题。等差、等比中项始终是高考拟题的知识点,如下面的第1、5题。在数列问题中,从一般到特殊的思想方法,是重要的思路,如第3、5题。

1.若an是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然n是( )

A、4005 B、4006

C、4007 D、4008

解:∵a2003·a2004<0

∴a2003与a2004中必有一个为负。

又a1>0只有d<0,a2003、a2004中才可能有负值,∴a2004<0

a2003+a2004=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a4006>0

∴S4006=-(a1+a4006)>0

S4007=-(a1+a4007)

=-·2a2004<0

∴选B

注:本题不同于当Sn最大时求n的值,在审题中注意区别。

2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且-=-,则使得-为整数的正整数n的个数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

解:∵an,bn为等差数列

∴可设An=(7n+45)gn,

Bn=(n+3)gn

an=An-An-1=14n+38,

bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)

-=-=k,k为正整数

n=-,n为正整数,719

K=8、9、10、11、13

∴选D

注:若{an}为等差数列,那么Sn=pn2+qn,是常数项为0,关于n的二次函数。

3.已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5,a1,b1∈N*。设cn=-(n∈N*),则数列{cn}的前10项和等于()

A.55B.70

C.85D.100

解:某些数列问题经常用一般到特殊的思考方法。

c1=-=a1+(b1-1)·1

c2=-=a1+(b2-1)·1

c3=-=a1+(b3-1)·1

c2-c1=b2-b1=1,

c3-c2=b3-b2=1

c1=a1+b1-1=4

∴{cn}为c1=4,公差为1的等差数列

∴S10=85 选C

注:-其中bn是项数,在数列中,项an是项数n的函数。

4. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于

(A)80(B)30

(C)26 (D)16

解:Sn=a1+a2+…+an=2

S2n=Sn+an+1+an+2+…+a2n

=Sn+qn(a1+a2+…+an)

=Sn+Sngqn=2+2qn

S3n=S2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n

=S2n+q2ngSn=2+2qn+2q2n=14

→qn=2

S4n=S3n+(a3n+1+a3n+2+…+a4n)

=S3n+q3ngS1=30

选B

注:这里把Sn作为一个单位,以此表示S2n,S3n,S4n,这是一个"整体"的思想方法。

5.在等差数列{an}中,若a10=0则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1则有等式____成立。

分析:用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18,这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0,a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0,可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质。

若给出a9=0,可以引出:

a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0

那么应有下面的等式:

a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n

类比等比数列:

b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1。

∴b1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n<17,n∈N)

注:灵活运用等差、等比中项是数列问题中的重要内容,下面的结论有助于这种灵活应用。若p、q、m、n均为正整数,且p+q=m+n,在等差数列中有ap+aq=am+an;在等比数列中,ap·aq=am·an

6. 数列{an}中,a1=-,an+an+1=-,n∈N*则-(a1+a2+…+an)等于( )

A.- B.-

C.- D.-

分析:若把an+an+1看成一项,那么 {an+an+1}为等比数列。

(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…

=2(a1+a2+a3+a4+…)-a1

∵a1+a2=-,

-=-

∴2(a1+a2+a3+…)-a1

=-=-

-=(a1+a2+…+an)=-

选C。

注:在数列求和问题中,有时可以把几项并成一项,也有时把一项分拆成几项,这是求和中"变形"的一条重要思路.

7.已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,(1)若 bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1;

(2)若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;

(3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;

解:(1)∵a1=b1,a2=b2≠a1→b2≠b1→q≠1

∴Sk-1=-=-

=-=-=(m-1)a1

解:(2)b3=b1q2=a1q2=a1+(i-1)gd=a1+(i-1)(a2-a1)

=a1+(i-1)(b2-b1)=a1+(i-1)(a1q-a1)

∵a1≠0,q≠1

∴q2=1+(i-1)(q-1)

q=i-2,q是整数,

由b1=a1,b2=a2,b3=ai→q=i-2

下面只讨论n4的情况

bn=b1qn-1=a1+(k-1)d=a1+(k-1)(a2-a1)=a1+(k-1)ga1g(q-1)

化简qn-1=1+(k-1)(q-1)

k=1+-1+1+q+q2+…qn-2

若i=1,q=-1,q+q2+…qn-2=0或-1

k=2,1;

i=2,q=0。矛盾

i3,k是正整数。

分析(3)b1=a1,b2=a2,a3=b(n)为所求

由a1、a2、a3成等差

b1、b2、b(n)也成等差

a3=a1+2d=b1+2(a2-a1)

=b1+2(b1q-b1)

=b1(2q-1)=b1qn-1

n3,n=3时,2q-1=q2→q=1与已知矛盾。

n=4 2q-1=q3 q3-q=q-1

q(q2-1)=q-1

q-1≠0,q2+q-1=0,又q>0

∴q=-

即b1,b2,b4成等差。

注:2q-1=qn其中n,q都是未知数,因为n为正整数,所以从分析n入手。

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