高数函数的极限思维导图
高数函数的极限基本介绍
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思维导图大纲
高数思维导图模板大纲
函数的极限
数列函数
当自变量按正整数1，2,3…依次顺序增大时，函数值按一定的法则排列的一列数 X1,X2,Xn称为数列，记为数列{ Xn}数列是以全体正整数集为定义的一种特殊的函数。
对于数列xn如果当n无限增大时对应的xn无限接近某一个确定的常数A,则A为数列 Xn的极限,或称数列 Xn收敛于A。记为Xn→A(n→∞)否则称数列Xn发散。
函数极限
定义
函数的变化与自变量的变化有关。注意，谁在变，怎么变
自变量变化的情况。
自变量用X来表示，X趋近于无穷大时。
X趋于正无穷大时。
X趋近于负无穷大时。
自变量用X来表示,X趋近于某一个数值X0时
X趋近于X0的左极限
X趋近于X0的右极限
函数的左右极限统称为单侧极限
无穷小量
定义
如果 limf(x)=0，则称f(x)为x→xo(或x→0)时的无穷小量(infinitesimal)，简称无穷小，此时也称函数f(x)收敛于零.(以零为极限的函数称为无穷小量)
无穷小量与自变量的变化过程有关
无穷小量定理。
【定理 1】 在自变量的同一变化过程x→xo(或x→)中lim f(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+a(x)，其中lim a(x)=0.20 (或)(或：→00)
定理1说明f(x)以A为极限与f(x)-A为无穷小量是等价的同时也说明极限与无穷小量之间相互转化的关系.
定理2】有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.如x→0时，x和sinx都是无穷小量，根据定理2知道，x→0时，x土sinx仍为无穷小量.
【定理3】有界函数与无穷小量乘积仍为无穷小量.如x→时，一是无穷小量，arctanx是有界函数，根据定理3，当x→时，一arctanx为无穷小量.
【推论1】 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量.
【推论2】无穷小量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。如x→0时，x及sinx为无穷小量，根据推论2，当x→0日sinx仍为无穷小量
无穷大量
如果当x→x。(或)时，对应的|f(x)|无限增大(即limf(x)=0)，则称f(x)为x→xo(或x→00)时的无穷大量
如x→0时，一、sinx郁是无分大量；x→十0时，lgx为无穷大量；
极限四则运算及两个重要的极限
推论：
【推论3】lim[C·f(x)]=C·limf(x)=C·A，其中C是常数
【推论4】lim[f(x)]”=[limf(x)]”=A”，其中n是正整数. 定理4及其推论3、推论4中lim指的是lim或lim.
两个重要极限
limSin.x =1 .x→0
limx→∞(1+1/x)ⁿ=e
无限小量的比较。
1)如果lim3(x)/a(x)=0，则称(x)是比α(x)较高阶的无穷记为3(x)=0(a(x))；
(2)如果lim3(x)/a(x)=0，则称β(x)是比α(x)较低阶的穷小；
(3)如果lim3(x)/a(x)=c(c+0，1，c为常数)，则称(x)与是同阶无穷小，特别当(=1时，称(x)与α(x)是等价无穷小，记3(x)~a(x).
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