教师资格证数学学科知识点：二项式定理思维导图
教师资格证数学学科知识点：二项式定理思维导图，是一篇介绍二项式定理的知识点的思维导图模板，二项式定理可以展开为一个恒等式，且可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。二项式定理的具体公式和理解方法，有三个方面需要注意：二项展开式中有n+1项，字母a按照降幂排列，字母b按升幂排列，二项式定理有双向作用，既可以将二项式（a+b）^n展开，也可以将展开式合并成二项式（a+b）^n，展开式中的各项的“二项式系数”与“系数”的概念不同。还详细介绍了二项式展开式的通项公式和通项系数的性质，如其对称性、增减性与最大值、各系数的和，在利用二项式定理和展开式的通项公式计算特殊项时需要注意“二项式系数”与“系数”的区别。
思维导图大纲
教师资格证数学学科知识点：二项式定理思维导图模板大纲
二项式定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。全国树图网根据《数学学科知识与能力》整理了二项式定理相关知识点，希望对广大考生备考有所帮助。
一、二项式定理
1.公式
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n
2.理解
（1）二项展开式有n+1项
（2）字母a按照降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，等式都成立，通过对a，b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a=1，b=x，则（1+x）^n=C(n,0)x^n+C(n,1)x^(n-1)b+...+C(n,k)x^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式（a+b）^n展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式（a+b）^n
二、通项系数
二项展开式中的第k+1项为C(n,k)a^(n-r)b^k，叫做二项展开式的通项。TK+1=C(n,k)a^(n-r)b^k
三、通项系数理解
1.性质
（1）对称性
在二项展开式中，与首末两端"等距离"的两项的二项式系数相等，即C(n,0)=C(n,n)，C(n,1)=C(n,n-1)，C(n,2)=C(n,n-2)，…C(n,k)=C(n,n-k)，…
（2）增减性与最大值：在二项展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数，C(n,k)max=C(n,n/2)；如果二项式的幂数是奇数，中间一项的二项式系数相等并最大，即C(n,k)max=C(n,n-1/2)=C(n,n+1/2)
（3）二项展开式的各系数的和位2^n，令a=1,b=1，即C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n
（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等。
2.注意点
利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清：
（1）二项展开式中的各项的"二项式系数"与"系数"的区别，这是两个不同的概念，"二项式系数"仅仅指C(n,0)，C(n,1)…，不包括字母a，b表示式子的系数。
（2）通项C(n,k)a^(n-r)b^k是展开式中的第k+1项，不是第k项。
四、二项式定理的应用
解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
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